费根鲍姆常数

1978年和1979年，费根鲍姆连续发表了两篇文章，发现了重要的费根鲍姆常数。费根鲍姆用替代这里是一个正系数，研究迭代后的情形。随着参数的增大，稳定点的周期性也在增加。当增大到时，原先稳定的1周期点(即不动点)分岔成两个稳定的2周期点；再增至时，又产生了4个稳定的4周期点，……当增至时，个稳定的周期点消失了，取而代之的是个稳定的周期点，……如此无限进行下去，这就是著名的周期倍增分岔现象。注意，当增至某个时，周期变成无穷大，其实就是没有周期。这个时候，我们就说分岔进入了混沌。

费根鲍姆发现，当时，是有极限的，它就是著名的费根鲍姆常数4.6692016…，另一个常数的名气稍逊一筹，是关于相邻分岔宽度之比的，这个极限是2.5029078…，也叫费根鲍姆常数。

这个发现是极其惊人的。费根鲍姆一开始用的函数是，后来，受他的同事提醒，费根鲍姆又动用计算机研究了另一个函数。想想看，这两个函数的差异多么巨大，但它们的相邻分岔间距之比竟然趋于同一个极限！费根鲍姆最终确信，这是所有连续函数的共同性质。

更不可思议的是，这两个常数似为数学中的“不速之客”。一开始发现4.669…时，费根鲍姆就想到去用人们熟知的常数等将其凑出来，后来发现根本不可能。现在人们承认，它们是数学王国中新的普适常数。这两个常数逃过了前辈数学家的手掌心，最终却被费根鲍姆找了出来。它们证明，混沌并非毫无规律，其中存在着深刻的普适性。

理解复杂性

混沌不是数学家的专利。随着研究的深入、人们发现，在力学、电路、湍流乃至某些化学过程中，混沌现象随处可见。就连股市行情的风云变幻，市场经济的潮涨潮落，也或多或少地有着蝴蝶效应的味道。混沌的出现，一方面预示着人们认识世界的预测能力将受到根本性的限制。另一方面，它又大大转变了人们的传统观念，向人们提供了研究问题的新思路、新方法。例如，过去人们用传统方法无法对付的“噪声”，现在就可以另辟蹊径，用混沌的方法去进行研究，取得令人意想不到的结果。

混沌是人类探索复杂性的一把钥匙。尽管目前为止，认识混沌与复杂性并不能减少心脏病或地震的发生，但它在观念上已造成了一场深刻的革命，动摇了确定论和简单化的迷梦。笛卡儿、牛顿等人曾经断定，宇宙是一个巨大的精密机械。宇宙中一切物体的全部运动状态，都可以根据基本定律巨细不遗地得出。这是一个数量的世界，一个可以利用数学方法进行计算的世界。然而混沌却告诉我们，世界是复杂的，即使是看上去非常简单的事物，也会出现无法预料的结果。

美国科学作家格莱克军过一本风靡一时的科普图书《混沌——开创新科学》。书中写道：“这门新科学的最热情的鼓吹者们竟然宣称：20世纪的科学只有三件事将被永志不忘，那就是相对论、量子力学和混沌。”无论这句话是不是恰当，但混沌的确已经并且仍在改变着我们理解世界的方式，改变着我们的生活。

费根鲍姆有一个信念，物理科学未能理解艰难的非线性问题。当他开始在洛斯阿拉莫斯思考非线性时，他意识到正规教育中没有任何有用的东西。除了教科书中专门设计的特例，求解非线性微分方程组是不可能的。通过微扰技术求解，希望它与真正问题相接近，看来是愚蠢的。费根鲍姆最终确定从简单的类似于R.梅研究过的映射开始。他同时进行数值工作和理论分析，但迟迟看不到方程的整体图象，但能够看出，各种可能性非常复杂，分析起来会极其困难。他知道洛斯阿拉莫斯的三位数学家1971年已经研究过这类映射，其中的P.斯坦还提请他注意：这类映射甚至比任何人想象的还要复杂。于是，问题曾一度被束之高阁。

然而，1975年夏天，他去科罗拉多的山间小镇参加了一次会议，会上他听了拓扑学和动力学专家斯梅尔(S.Smale)有关动力学系统的介绍。斯梅尔先介绍了逻辑斯蒂映射和倍周期分岔走向混沌。斯梅尔指出，某些有意义的现象可能就发生在周期转为混沌的临界处。同以往一样，斯梅尔对重要问题有敏锐的直觉。费根鲍姆又一次受到鼓舞，他决定重新研究逻辑斯蒂方程。

费根鲍姆决定先精确算出分岔点的参数值。由于计算器太慢，每一次周期倍分的精确参数值要用好几分钟才能算出来，而且越往前走，时间越长。为了节省时间，他试图猜测下一个参数会在何处。忽然他发现一个出乎意料的规律：这些数字是几何收敛的。也就是说，相邻两分岔点的间距是几何收敛的。

费根鲍姆还发现，周期轨道之间的距离也是收敛。R.梅从逻辑斯蒂方程得到丰富的定性信息，他也曾看到过这个几何收敛，但很快就忘记了。他为方程的整体行为而激动，但没有意识这些数值细节会证明是重要的。费根鲍姆知道这些定量信息的重要性，因为几何收敛意味着方程中有些标度变换性质。在这样不守规矩的系统中，蕴含着某些标度变换下能保持下来的性质。在方程的湍流表面之下，藏着某种规律性。现在需要进一步确证这两个常数的普适性。

费根鲍姆想起了他的同事斯坦等人还观察过其他方程，并发现了同样的周期倍增现象。发现 和 一个多月之后，他终于下定决心把超越函数 拿来做迭代试验。这一次，计算器算得更慢。但他还是很快发现，这个超越函数的迭代，其分岔间距比也是几何收敛的，更令他激动的是收敛速度(每次缩小的倍数)也是4.669。

后来人们进一步发现，一维单峰映射都有相同的收敛速率 和标度因子 。而且，在许多包含耗散的高维非线性系统中，只要出现倍周期分岔序列，就会有同样的普适常数。当然，对于明显不同的峰形(如扁平峰或尖峰)和多峰来说， 和 就不是这两个数值了。对于保守系统，与一维单峰映射对应的普适常数 。因此，根据普适常数的不同可以划分不同的普适类，每一类内的映射的普适常数相同。同类映射中，我们只要研究一个最简单的典型实例即可。

斯图尔特说：“费根鲍姆像一个魔术师，他从混沌大礼帽中抓出了普适性的兔子”。普适性的重要意义不仅在于他是一个伟大的思想结果，而且在于由此可以找到定量上完全相同的性质、可以预言的性质。

1977年物理学家利布沙伯( A.Libchaber)设计了一个理想化的但却真实的对流实验。随着温度的升高，他观察到了周期振荡的周期倍增效应，并验证了标度比4.669。费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实，可以测量，可以再生。此后几年，世界各地进行的一大批实验证实了费根鲍姆的预言。不仅仅在湍流中，而且在电子学、光学，甚至生物学中。费根鲍姆的发现，改变了人类对宇宙的认识。