正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3211

题目大意

一个nnn个点mmm条边的无向图，从111到nnn随机游走。求期望路径异或和。

2≤n≤100,1≤m≤1042\leq n\leq 100,1\leq m\leq 10^42≤n≤100,1≤m≤104

解题思路

因为是异或的期望，很难直接处理，所以考虑按位考虑每一位是111的概率。

然后nnn很小就是一个很显然的高斯消元了。设fif_ifi表示i∼ni\sim ni∼n是111的概率。

fx=1degx(∑x−>y,w=1(1−fy)+∑x−>y,w=0fy)f_x=\frac{1}{deg_x}(\sum_{x->y,w=1}(1-f_y)+\sum_{x->y,w=0}f_y)fx=degx1(x−>y,w=1∑(1−fy)+x−>y,w=0∑fy)

时间复杂度O(n3log⁡wi)O(n^3\log w_i)O(n3logwi)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
struct node{int to,next,w;
}a[N*N*2];
int n,m,tot,deg[N],ls[N];
double f[N],ans;
void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return;
}
namespace G{double a[N][N],b[N];void init(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=0;b[i]=0;}return;}void solve(double *f){for(int i=1;i<=n;i++){int z=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i]>a[z][i])z=i;swap(a[i],a[z]);swap(b[i],b[z]);double inv=a[i][i];for(int j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]/inv;b[i]=b[i]/inv;for(int j=i+1;j<=n;j++){double rate=-a[j][i];for(int k=i;k<=n;k++)a[j][k]+=a[i][k]*rate;b[j]+=b[i]*rate;}}for(int i=n-1;i>=1;i--){for(int j=i+1;j<=n;j++)b[i]-=b[j]*a[i][j]/a[j][j];f[i]=b[i];}return;}
};
void solve(int w){G::init();G::a[n][n]=1;for(int x=1;x<n;x++){for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(a[i].w&w)G::a[x][y]++,G::b[x]++;else G::a[x][y]--;}G::a[x][x]+=deg[x];}G::solve(f);ans+=(double)w*f[1];return;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);deg[x]++;addl(x,y,w);if(x!=y)deg[y]++,addl(y,x,w);}for(int i=0;i<=30;i++)solve(1<<i);printf("%.3lf\n",ans);return 0;
}

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P3211-[HNOI2011]XOR和路径【高斯消元】

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