平衡二叉树节点跟高度的关系

设f（n）为高度为n的平衡二叉树最少含有的节点数，则：f(1) = 1;f(2) = 2; f(3) = 4;f(4) = 7;……

这些可以通过画图就能得到，但是当n很大时呢？其实有如下结论：f(n) = f(n-1) + f(n-2) +1,(n>=3)。这个递推结论如何得到的呢？

引导问题：求一棵二叉树的节点数目：

假设一颗二叉树T，其左右子树分别为TL,TR。又假设T的节点数目为F(T),TL，TR的节点数目分别为F(TL),F(TR)。则显然：

F(T) = F(TL) + F(TR) + 1。

本文的问题：求高度为n的平衡二叉树最小需要多少节点：

同样假设T为高度为n的平衡二叉树，其需要最少的节点数目为F(n)。又假设TL，TR为T的左右子树，因此TL，TR也为平衡二叉树。假设F1,F2为TL，TR的最少节点数，则，F(n) = F1+F2 +1。那么F1,F2 到底等于多少呢？由于TL，TR与T一样是平衡二叉树，又由于我们知道T的最少节点数是F(n),其中n为T的高度，因此如果我们知道TL，TR的高度就可以知道F1,F2的值了。由平衡二叉树的定义可以知道，TL和TR的高度要么相同，要么相差1，而当TL与TR高度相同(即:都等于n-1)时，我们算出来的F(n)并不能保证最小，因此只有当TL与TR高度相差一(即：一个高度为n-1，一个高度为n-2)时，计算出来的F(n)才能最小。此时我们假设TL比TR高度要高1(即：TL高度为n-1，TR高度为n-2)，则有：F1 = F(n-1),F2 = F(n-2)。因此得到结论：F(n) = F(n-1) + F(n -2 ) + 1!
又有结论：深度为h的平衡二叉树的最少节点数N=F(h+2)-1;
F(n)为斐波那契数列，
高度范围：F(h+2)-1<=n

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