一、泰勒公式

单片机如果不调用库，只进行加减运算，亦或宽泛点来说能进行加减乘除运算，那不调用库如何进行三角函数的计算呢？这时我们引入泰勒公式。

泰勒公式用一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。

由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算数运算，便能求出它的函数值来，因此我们常用多项式来近似表达函数。

二、思路分析

1.sin函数的泰勒展开式：

s i n x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − . . . + ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 2 k − 1 ! + . . . sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...+{(-1)^{k-1}}\frac{x^{2k-1}}{2k-1!}+... sinx=x−3!x3+5!x5−...+(−1)k−12k−1!x2k−1+...

令 a 1 = x , a 2 = x 3 3 ! , a 3 = x 5 5 ! , . . . , a_{1}=x,a_{2}=\frac{x^{3}}{3!},a_{3}=\frac{x^{5}}{5!},..., a1=x,a2=3!x3,a3=5!x5,...,

a k − 1 = ( − 1 ) k − 2 x 2 k − 3 （ 2 k − 3 ） ! , a k = ( − 1 ) k − 1 x 2 k − 1 （ 2 k − 1 ） ! , k = 1 , 2 , 3 , . . . , n a_{k-1}={(-1)^{k-2}}\frac{x^{2k-3}}{（2k-3）!},a_{k}={(-1)^{k-1}}\frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!},k=1,2,3,...,n ak−1=(−1)k−2（2k−3）!x2k−3,ak=(−1)k−1（2k−1）!x2k−1,k=1,2,3,...,n

则 s i n x = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a k − 1 + a k + . . . sinx=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{k-1}+a_{k}+... sinx=a1+a2+a3+...+ak−1+ak+...,且

a 2 = ( − 1 ) ∗ a 1 ∗ x 2 2 ∗ 3 ， a 3 = ( − 1 ) ∗ a 2 ∗ x 2 4 ∗ 5 ， . . . a_{2}=(-1)*a_{1}*\frac{x^{2}}{2*3}，a_{3}=(-1)*a_{2}*\frac{x^{2}}{4*5}，... a2=(−1)∗a1∗2∗3x2，a3=(−1)∗a2∗4∗5x2，...

即
a k = ( − 1 ) ∗ a k − 1 ∗ x 2 2 ∗ ( k − 1 ) ∗ ( 2 k − 1 ) , k = 1 , 2 , 3 , . . . , n a_{k}={(-1)}*a_{k-1}*\frac{x^{2}}{2*(k-1)*(2k-1)},k=1,2,3,...,n ak=(−1)∗ak−1∗2∗(k−1)∗(2k−1)x2,k=1,2,3,...,n

也就是说，多项式下一项都可由当前项计算出来，只要知道了第一项的 x,就可以计算出之后的每一项。
代码实现：
设 tItem 为 a k a_{k} ak，tRadian为 x,则有：

 tItem = (-1) * tItem * tRadian * tRadian / (2*(k-1) * (2 * k - 1));

之后通过循环累计求和把每一项加起来，就是sinx的值。

2.弧度制计算

角度是有单位的，弧度是没有单位的，函数sinx中x属于弧度制，而我们输入的为角度，故需要将角度转换为弧度。

角度转弧度的公式：

1 ° = Π / 180 ° 1°= Π/180° 1°=Π/180°

如 50° = 50 * Π / 180° ≈ 0.87

代码实现：
设 tRadian 为弧度，tAngle为角度，则有：

 tRadian = tAngle * PI / 180; //角度转化为弧度进行计算

3.设定常量

由于展开式中，项数有无数个，而代码在实际运行中进行无限次计算会没有尽头，这时候我们需要设定一个常量，当项数小于常量时就停止计算。

项数越多，展开式就会越接近原函数，所以这个常量越小，所计算出的结果越精确。

代码实现：
设 tvalue 为常量，则有：

 #define tvalue 1e-8        //定义一个常量，来控制精度

这里1e-8为 1 0 − 8 10^{-8} 10−8，可根据需求来改。

三、完整代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define tvalue 1e-8        //定义一个常量，来控制精度
#define PI     3.1415926   //圆周率
void main()
{double  tSum = 0, tItem = 0;//tSum：求和（和即sin的值）， tItem：每一项double  tAngle, tRadian;    //tAngle:输入的角度,tRadian:弧度int k = 1;                  //式子的右下标printf("请输入角度：");scanf("%lf", &tAngle);tRadian = tAngle * PI / 180; //角度转化为弧度进行计算tItem   = tRadian;           //输入的角度等于第一项while (fabs(tItem) > tvalue) //如果项的绝对值大于我们定义的常量，则进入循环{tSum += tItem;  //和等于每一项相加k += 1;         //式子的右下标tItem    = (-1) * tItem  * tRadian * tRadian / (2*(k-1) * (2 * k - 1));
//原式为：下一项 = (-1) * 这一项 *    x    *   x     / (2*(k-1) * (2 * k - 1))}printf("sin(%.lf)= %.2lf", tAngle, tSum);getchar();//让程序暂停，查看结果
}

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