【数学与算法】二部图、匈牙利匹配、稳定婚配

二部图系列视频

关于匈牙利匹配可以联系下面两篇博客更容易理解和补盲：
带你入门多目标跟踪（三）匈牙利算法&KM算法
趣写算法系列之–匈牙利算法

14.1 二部图

广度优先搜索
广度优先，可以使用队列来操作:

依次遍历节点，首先遍历第一个节点A，判断节点A是否遍历过，如果节点A没有遍历过，就把节点A添加进队列。
然后取出队列中的第一个元素A，对于和节点A连接的某节点B和节点C等，把节点B和c进行标记(标记就是根据题目的具体要求进行操作，即你的目的是什么你就干什么），并且如果节点B和c没有遍历过，那么把节点B和C添加进队列。
然后再取出队列中的第一个元素，就是节点B，遍历到了B节点，再对和B节点连接的节点D进行标记，并且判断D是否遍历过，没有遍历过的话就添加到队列。
然后再取出队列第一个元素，为节点C。以此类推

14.2 无权二部图的最大匹配，最大流问题，其中有个网络最大流方法，贪心算法找最大匹配可能会失败。
贪心算法，每次局部最优，得到全局最优。
例如，每次只能从钱箱子里面取一张钞票，那肯定是每次都拿里面面值最大的一张，这样就会得到最优结果。
无权二部图的每条边权重都是一样的，为1。无权并不是说权重为0。

14.3有权二部图的最大匹配和最小匹配，把图边制作一个邻接矩阵。我们的目标是寻找权重之和最大的匹配。最大匹配限制条件:每一个节点都只能拥有一条边。注意，二部图并不是每个节点只有一条边。
以宠物收养为例，有权二部图的边的权重表示人对宠物的喜好程度，没有边表示喜好程度是0，也就是完全不喜欢。
宠物收养机构应该寻找有权二部图中的最大匹配。最大匹配，意味着让人领养最喜欢的宠物，获得最大的幸福感。

对于有权图，最大匹配和最小匹配是可以相互转化的。只需要把所有权重乘以−1\color{blue}-1−1全都变为负数即可。即，本来求最大值，最大值乘以 −1\color{blue}-1−1 就变成了最小值了。

最大匹配是最优匹配，即所有匹配权重之和(函数值）最大。
最小匹配也是最优匹配，即所有匹配权重之和(函数值）最小。

最大匹配可以理解为人对物体的喜好程度，每个人对分配给他的物体的喜好的和值最大的匹配对，就是最大匹配；
最小匹配可以理解为两种物体的差异，所有物体差异的和值最小，就是最小匹配。

匈牙利算法用来寻找有权二部图中的最小匹配。但是匈牙利匹配中有一个限制，就是两个集合中的节点数都一样为n，即邻接矩阵必须是一个 n∗n\color{blue}n*nn∗n 的方阵。匈牙利算法的时间复杂度是 n3\color{blue}n^3n3。

`问：匈牙利算法的输入必须要是方阵吗，也就是左右数目一样吗？`

答：匈牙利算法不需要，KM算法必须得是完全匹配（可以补权值为零的边得到）。
但是在自动驾驶中，一般直接用匈牙利算法代指KM算法，里面调用的就是KM算法。
所以，自动驾驶中指代额匈牙利算法，是一个方阵n*n。如果有一条边权值为0，就表示二者没有边。
所以，如果匈牙利算法+KM算法最终得到的二者匹配的一对，如果边的权重为0，就表示不匹配。并不表示强行把二者给匹配起来。

匈牙利算法是解决最小匹配的问题，但是我们实际问题如果是要求最大匹配，应该怎么办呢？我们可以把最大匹配等价转换为最小匹配，即，把权重全部取反，这样就把喜爱程度变成厌恶程度了，然后再调用匈牙利算法即可。
最小匹配的理解就是幸福度最低，我们最开始是+10\color{blue}+10+10，表示特别喜欢某只宠物，取负数就变成了特别不喜欢这只宠物，如果每个人都分配到了最最不喜欢的宠物，那么就是最小匹配。所以最小匹配并不是说被领养的宠物最少，而是最差匹配。最大匹配应该理解为最优匹配，最小匹配应该理解为最差匹配。

不过，不要狭隘的理解最大匹配和最小匹配的匹配结果是一样的。因为最大匹配是权值之和最大的匹配，而最小匹配是权值之和最小的匹配。两个集合中，最大匹配和最小匹配肯定不会是同一种匹配结果。前面介绍的最大匹配和最小匹配的互相转化，最终的匹配结果是同一种，只不过因为最小化更容易求解，例如匈牙利匹配就是根据寻找权重之和的最小值来求解问题的。

【14-4: 匈牙利算法 Hungarian Algorithm-哔哩哔哩】

匈牙利算法只需要操作邻接矩阵

最大匹配并不唯一，可能有多种匹配方式都能达到同样幸福度。

14.6 稳定婚配问题
Gale-shapley解决稳定婚配问题。就是n\color{blue}nn个男人分别对n\color{blue}nn个女人进行爱慕程度排序，n\color{blue}nn个女人也分别对n\color{blue}nn个男人进行爱慕程度排序。
每个男性都首先选择最喜欢的女性，如果女性的爱慕程度的最优选择不是你，你就划掉该女性，下次匹配不会再考虑她，然后你再选择你第二爱慕的女性，直到配对成功。并且每次匹配之后，依旧单身的男性先选择女性，无论女性是否已配对，可以挖墙脚，把已配对的男性变成单身。直到最后所有男人配对成功(此时所有女人也会配对成功)。

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