最长上升子序列_动态规划最长上升子序列LIS

问题描述

最长上升子序列（LIS）：

给定长度为n的序列，从中选中一个子序列，这个子序列需要单调递增，请问最长子序列（LIS）的长度？

eg：1，5，2，3，11，7，9

则LIS序列为：1，2，3，7，9 长度为5

设计状态：

记f(x)为以a[x]为结尾的LIS长度，那么LIS=max{f(x)}

那么如何推到f(x)呢？

考虑比x小的每一个p，如果a[x] > a[p]，那么f(x) = f(p) + 1

状态转移方程

f(x) = max{f(p)} + 1

a[x] = 1,5,3,4,8 x = 1 2 3 4 5

f(1) = 1

f(2) = f(1) +1 或者 0 +1 -------- > f(2) = 2

f(3) = f(1)+1 = 2 或者 0+1 = 2 -----》 f(3) = 2

f(4) = f(1) + 1 = 2 或者 f(3) + 1 = 3 或者 0+1 = 1 ------》 f(4) =3

f(5) = f(1) + 1 = 2 或者 f(2) + 1 = 3 或者 f(3) + 1 = 3 或者 f(4) + 1 = 4 或者 0+1 = 10+1 = 1

即最后的结果是4

代码如下：

那么哪些题目适合用DP算法解决呢？如何设计好的DP算法：

满足最优子结构

大问题可以由小问题推出，大问题与小问题求解思路一致

2. 满足无后效行

一旦f(n)确定，后续我们直接调用它的值就可以了，而不需要关心它是怎么过来的

3. 设计好状态

想办法把当前局面表达出来

4. 设计好状态转移方程

可以从两个方面考虑，我从哪里来，或者我到哪里去

5. 代码实现

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