n/2^n的前n项和，Sn=∑n/2^n

求数列 $\frac{n}{2^n}$ 的前n项和

$S_{n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}$ ①

$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+...+\frac{n}{2^{n+1}}$ ②

①-②：

$\frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n+1}}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}$

→ $S_{n}=2-\frac{n+2}{2^n}$

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