因为以前从来没接触过数论，小学也没搞过奥数，而且数论这东西又挺重要的，不只是比赛，有些东西基本算是常识需要知道的。而且内容还很杂。所以决定好好写一篇博客，包括知识点和自己的理解。

0.特殊性质

一.分解质因数和算术基本定理

如何分解质因数

二.判断素数和素数筛（埃筛和欧拉筛）

素数判断

素数筛法

三.约数

一个数的所有约数

约数个数

约数之和

最大公约数GCD

四.欧拉函数和欧拉函数筛及欧拉定理

求一个数的欧拉函数

欧拉函数筛

欧拉定理

费马小定理

0.特殊性质

平常写题会碰到的一些特殊性质。

整除性质：

1、若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。

2、对任意非零整数a，±a|a=±1。

3、若a|b，b|a，则|a|=|b|。

4、如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

5、如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。

6、对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

7、公因数一定整除最大公因数。

8.d|a,d|b 则d|ax+by。

9.整除的传递性。若a|b b|c 则a|c。

1.定理：两数最大公约数与最小公倍数的积等于两数之积 $\gcd(p,q)\cdot\operatorname {lcm}(p,q)=pq$

所以互质的两数乘积就是最小公倍数。

2. $a%b=a-\lfloor a/b \rfloor\cdot b$

一.分解质因数和算术基本定理

① 惟一分解定理 (算术基本定理) 可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N= $P_{1}^{a1}P_{2}^{a2}P_{3}^{a3}...P_{n}^{an}$ ，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

②质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。

如何分解质因数

分解质因数，也就是将n表示为标准分解式。所以我们要求出质因数和对应的指数。

试除法：

为什么只要枚举到sqrt(n)就行呢？

因为超过sqrt(n)的部分基本没有意义，因为如果存在多个大于sqrt(n)的质因数，根据惟一分解定理，n由这些数相乘组成，那么多个大于sqrt(n)的质因数相乘就超过了n，矛盾。

所以最多只会有一个大于sqrt(n)的质因数，所以当枚举到sqrt(n)时剩下的数不等于1，那么说明还剩下这个大于sqrt(n)的质因数。额外加上即可。

vector<pair<int,int>> div(int n){vector<pair<int,int>> ans;
//因为惟一分解定理，合数也是由多个质数组成，合因数组成的较小质数会被先分解，所以每次得到的必定是质因数for(int j=2;j<=n/j;j++){//除净小于sqrt(n)的质因数int sum=0;while(n%j==0){//除净质因数n/=j;sum++;//该质因数的指数}if(sum!=0)ans.push_back({j,sum});}if(n>1)//大于sqrt(n)的质因数只会有一个，如果有多个，分解定理的乘积就大于n了ans.push_back({n,1});return ans;
}unordered_map<int,int> div(int n){//得到质因数unordered_map<int,int>ans;for(int j=2;j<=n/j;j++){if(n%j==0){while(n%j==0){n/=j;ans[j]++;} }}if(n>1)ans[n]++;return ans;
}

参考：

数学数论相关 - ternary_tree 的博客 - 洛谷博客 (luogu.org)

二.判断素数和素数筛（埃筛和欧拉筛）

素数判断

· 根据素数的定义，只含有1和本身的因数的数被称为素数，由此定义枚举小于这个数的所有数，如果出现能够整除的，说明这个数不是质数。

注意：此处只需要枚举到sqrt(k)。

因为若 i | k，则 k/i | k

所以i如果不是因数，那么k/i也不是，最多到sqrt(k)，超过这个范围就没有意义了。

O(sqrt(n))

此处两数相乘采用逆元，可以防止爆int

int is_prime(int k) {//判断k是否是质数int ok = 1;if (k < 2)return 0;for (int j = 2; j <= k / j; j++) {//枚举到sqrt(k)if (k % j == 0) {ok = 0;return 0;}}return 1;
}

素数筛法

P3383 【模板】线性筛素数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

1.埃筛的思想比较简单，一个数的所有倍数都不可能是质数所以，枚举当前数的范围内所有倍数，将他们删去，剩下的都是质数。同时可以简单优化一下，由惟一分解定理，只需要筛去质数，合数也就会被顺带筛去。所以枚举质数的倍数即可。优化后复杂度O(nloglog)

2.欧拉筛也叫做线性筛。他保证每次筛的时候只会通过一个质因数将一个合数筛去，而不像埃筛那样重复筛同一个数好多次。

其主要的优化有两方面：

①每次只枚举质数的倍数。

②保证prime[i]是某个被筛去的合数的最小质因数.

重点在第二点。因为我们是从小到大枚举的质数，那么当第一次满足判断的数j,j%prime[i]==0那么这个prime[i]就是j的最小质因数，同时也是prime[i]*j的最小质因数。同时，因为prime[i]是j的最小质因数，那么prime[i]也会是之后prime[i+1~size]*j这些合数的最小质因数。

原理：欧拉筛筛素数 - 学委的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma warning(disable:4996);
//#define int long long
#define rep(j,b,e) for(int j=(b);j<=(e);j++)
#define drep(j,e,b) for(int j=(e);j>=(b);j--)
const int N = 1e8 + 10;
int T = 1;
int n, m, k;
int gcd(int a, int b) {return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}
vector<int>prime;
int NotisPrime[N];//1表示不是一个质数
void GetPrime_Era(int n) {//会多次标记同一个值rep(j, 2, n) {if (NotisPrime[j] == 0) {//如果是质数prime.push_back(j);for (int i = j; i <= n/j; i++)//质数的倍数全是合数,逆元写成/j防止爆intNotisPrime[i * j] = 1;}}
}
void GetPrime_Ola(int n) {//效率更高，一个数只会被他的最小质因数筛掉rep(j, 2, n) {if (NotisPrime[j] == 0)//筛完还是素数就加入prime.push_back(j);for (int i = 0; i < prime.size() && prime[i] <= n/j; i++) {//逆元枚举质数，筛pi*jNotisPrime[j * prime[i]] = 1;if (j % prime[i] == 0)break;//保证prime[i]是这个合数的最小质因数}}
}
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("out.txt", "w", stdout);
#endifios::sync_with_stdio(0); cout.tie(0);int q;cin >> n >> q;GetPrime_Ola(n);rep(j, 1, q) {cin >> k;cout << prime[k - 1] << endl;}
}

三.约数和公约数

一个数的所有约数

试除法

枚举到sqrt(n) ，原理同判断质数。

vector<int> div(int k){vector<int>ans;for(int j=1;j<=k/j;j++){if(k%j==0){ans.push_back(j);if(j!=k/j)ans.push_back(k/j);}}sort(ans.begin(),ans.end());//k的约数约有log个return ans;
}

约数个数

870. 约数个数 - AcWing题库

本题是求一个很大乘积的约数，而这个很大的数不比表示出来，他的标准分解式就等于每个乘数的标准分解式的乘积。

由算术基本定理：

N= $P_{1}^{a1}P_{2}^{a2}P_{3}^{a3}...P_{n}^{an}$

一个数的约数个数 sum= $(a1+1)(a2+1)...(an+1)$ ,也就是质因数指数+1的乘积。

因为算术基本定理，里面的质因数随意组合得到的数都是N的约数，每个质因数有0-ai种选法，由乘法原理，总的选择数为指数+1的乘积。

做法：

先对数N进行质因数分解，求出质因数和对应指数，然后求指数+1的乘积即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9 +7;
int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int>prime;//质因数和指数while(n--){int k;cin>>k;for(int j=2;j<=k/j;j++){//分解质因数得到底数和指数while(k%j==0){k/=j;prime[j]++;}}if(k>1)prime[k]++;}long long  ans=1;for(auto [p,cnt]:prime){ans=(ans*(cnt+1))%mod;//约数个数等于分解式的所有指数+1的乘积}cout<<ans<<endl;
}

约数之和

871. 约数之和 - AcWing题库

根约数个数的推导类似，所有质因数及其指数的排列组合构成所有的因数，所以约数和就是将每种组合都列出来然后相加，而提取公因式后可以得到

sum= $(P_{1}^{0}+P_{1}^{1}..+P_{1}^{a1})(P_{2}^{0}+P_{2}^{1}..+P_{2}^{a2})......(P_{n}^{0}+P_{n}^{1}...+P_{n}^{an})$

也就是所有质因数的所有指数的和的乘积

所以做法和约数个数很像，先分解质因数求出质因数和指数，然后写出公式。

这里求一个质因数的所有指数的和有个简便方法。

迭代 t=p*t+1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9 +7;
int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int>prime;//质因数和指数while(n--){int k;cin>>k;for(int j=2;j<=k/j;j++){//分解质因数得到底数和指数while(k%j==0){k/=j;prime[j]++;}}if(k>1)prime[k]++;}long long  ans=1;for(auto [p,cnt]:prime){long long t=1;while(cnt--)t=(p*t+1)%mod;//质因数所有指数的和ans=(ans*t)%mod;//求积}cout<<ans<<endl;
}

最大公约数GCD

辗转相除法：

如果

$D|A$ 且 $D|B$ 则有 $D|Ax+By$

所以对于A和B的最大公约数，则会满足 $D|B-A$ 用取模加快减法运算

得到

$D|B%A$

int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

裴蜀定理

设 $a,b$ 是不全为零的整数，则存在整数 $x,y$ , 使得 $ax+by=\gcd(a,b)$ .

且gcd(a,b)是 $ax+by$ 能得到的最小值，其他值全是gcd的倍数。

扩展欧几里得算法

877. 扩展欧几里得算法 - AcWing题库

扩展欧几里得算法是用来求解裴蜀定理中的x和y的。

好烦不会证明qwq

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;
//a*b+b*y=gdc(a,b)
int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){if(b==0){x=1,y=0;return a;}int res=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;while (n -- ){int a,b,x,y;cin>>a>>b;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<" "<<y<<endl;}
}

线性同余方程

878. 线性同余方程 - AcWing题库

线性同余方程：

$a\cdot x\equiv b~(mod~p)$

得

$a\cdot x=p\cdot y+b$

$a\cdot x+p\cdot y^{,}=b$

由扩展欧几里得，可得

$ax+by=\gcd(a,b)$

的x， $y^{,}$

又因为gcd(a,p) | (ax+by)

所以，如果b是gcd(a,p)的倍数，方程有解且解为方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的 $b/(a,p)$ 倍，反之无解。

所以先用gcd判断有解后，使用扩展欧几里得算法得到 $x_{0},y_0$ ，然后扩大 $b/(a,p)$ 倍即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;int n;
int a,b,p;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0)//mod等于0相当于整除{//a*1+b*0=ax=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{cin >> n;while (n -- ){cin>>a>>b>>p;int x,y;int d=exgcd(a,p,x,y);//a*x=p*y+bif(b%d)cout<<"impossible"<<endl;else{x=(LL)x*(b/d)%p;cout<<x<<endl;}}
}

四.欧拉函数和欧拉函数筛及欧拉定理

求一个数的欧拉函数

873. 欧拉函数 - AcWing题库

与N互质的数的个数称为N的欧拉函数，记做phi[N]

欧拉函数值可以通过上表的公式得到，可以看到N的欧拉函数只与质因数有关，和指数无关。

证明依靠容斥定理，略。

可以做法就是先求出N的所有质因数，然后带入公式

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
unordered_map<int,int> div(int n){//得到质因数unordered_map<int,int>ans;for(int j=2;j<=n/j;j++)if(n%j==0)while(n%j==0){n/=j;ans[j]++;} if(n>1)ans[n]++;// 惟一一个大于sqrt(n) 的质因数不要遗漏return ans;
}
int main()
{int n;cin >> n;while (n -- ){int k;cin >> k;auto ans=div(k);int res=k;for(auto&[prime,cnt]:ans){res=res/prime*(prime-1);//带入公式，注意都是整除。可以先除prime，因为prime是质因数，N能正常prime，然后再乘prime-1保证精度不丢失}cout<<res<<endl;}
}

欧拉函数筛

874. 筛法求欧拉函数 - AcWing题库

可以根据线性筛的思路，得到质数，根据质数作为某个数的质因数进行筛。

根据公式可以推出，

①j为质数数，欧拉函数ola[j]=j-1，因为质数的质因子只有他本身，也可以认为质数之前的所有数都和他自己互质（公约数只为1）

②pi为质数，j为任意数,且pi是j的质因子

根据欧拉公式，pi*j和 j 的质因数无差别，只有pi的指数有差别欧拉函数和质因子指数无关，所有欧拉函数的差别仅在N上。

易得 ola[pi*j]=pi*ola[j]

③pi为质数，j为任意数，且pi不是j的质因子

根据欧拉公式，pi*j和j的标准分解式差距只在pi*j多一个pi。带入欧拉公式

多一个pi*(pi-1)/pi=pi-1

易得 ola[pi*j]=(pi-1)*ola[j]

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
int n;
const int N = 1e6+10;
vector<int>prime;
int NotIsPrime[N];
long long ola[N];
long long get_ola(int n){ola[1]=1;//1的欧拉函数为1for(int j=2;j<=n;j++){if(NotIsPrime[j]==0){prime.push_back(j);ola[j]=j-1;//质数前面的所有数都与他互质}for(int i=0;i<(int)prime.size() and prime[i]<=n/j;i++){NotIsPrime[prime[i]*j]=1;if(j%prime[i]==0){ola[j*prime[i]]=prime[i]*ola[j];//pi是j的最小质因数，欧拉函数和质因数指数无关，大小只变化pi倍break;}else{ola[j*prime[i]]=ola[j]*(prime[i]-1);;//*prime[i]-1;//根据欧拉函数公式，乘上非质因数之后变化pi*((pi-1)/pi),也就是pi-1倍}}}return accumulate(ola,ola+n+1,0ll);
}
int main()
{cin>>n;cout<<get_ola(n);
}

欧拉定理

若 a和b互质，则 $a^{^{\varphi(b) }} % b\equiv 1$

证明：

设 ${a1,a2,a3...a\varphi (b))}$ 为与b互质的数的集合。

给集合每个数乘上一个a得到集合

${a\cdot a1,a\cdot a2...a\cdot a\varphi(b)}$ ，集合元素相乘，提取a，同时mod b

$a^{\varphi(b)}\cdot(a1\cdot a2...\cdot a\varphi(b))\equiv (a1\cdot a2...\cdot a\varphi(b)) (mod ~b )$

消去相同部分

$a^{^{\varphi(b) }} % b\equiv 1$

费马小定理

由欧拉定理，当b为质数时phi[b]=b-1

$a^{^{b-1 }} % b\equiv 1$

五.快速幂

快速幂的本质思路还是倍增，将幂表示为二进制即用二进制表示所有数。

例如3^5，5的二进制 101，可以看作2^0+2^2所以原式可以写成 $3^{5}=3^{2^{0}}\cdot 3^{2^{2}}$

所以用一个数存储,到当前位是2的几次方，如果该位为1，说明需要乘上。

注意快速幂防止爆int须先转为long long在进行运算，不能运算完再强转

int qpow(int a,int n){int ans=1;while(n){if(n&1==1)ans=((ll)ans*a)%mod;//当前位为1n>>=1;//移位a=((ll)a*a)%mod;//当前位是2的几次方}return ans%mod;
}

快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

也就是b与p互质（gcd(b,p)==1且保证同余p结果相同的情况下，用a乘上x表示a/b。x就叫b的逆元。

由

将 $a/b\equiv a\cdot x~ (mod~ p)$

两边同乘b，除a

得 $b\cdot x\equiv 1~ (mod~ p)$

由费马小定理，如果p为质数时 $b^{p-1}%p\equiv 1$

所以b与p互质且p为质数时逆元x= $b^{p-2}$

又因为p为质数，b要与p互质只需要b不是p的整数倍即可。

所以p为质数时求b的逆元等效于求 $b^{p-2}$

使用快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a,p;
#define ll long long
ll qpow(int a,int b){ll  ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ll)ans*a%p;b>>=1;a=(ll)a*a%p;}return ans%p;
}
int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){cin>>n;while(n--){cin>>a>>p;int res=qpow(a,p-2);if(a%p!=0){//（gcd(a,p)==1.p为质数，其他数若与他互质，只能不是p的整数倍cout<<res<<endl;}elsecout<<"impossible\n";}
}

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