1.由hermitehermitehermite标准形求{1}\{1\}{1}逆

{1}逆即AXA=A,AXA=A,AXA=A,先想办法把A矩阵表示出来
对任意矩阵，我们都有EA=B,BEA=B,BEA=B,B是HermiteHermiteHermite矩阵，现在再在B矩阵后乘上置换矩阵P，使得EAP=[IrK00]EAP=\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0\end{matrix}\right]EAP=[Ir0K0] A=E−1[IrK00]P−1A=E^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}A=E−1[Ir0K0]P−1试着假设XXX矩阵是X=P[Ir00L]E,X=P\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&L \end{matrix}\right]E,X=P[Ir00L]E,接着来证明一下是否是这样。AXA=A=E−1[IrK00]P−1P[Ir00L]EE−1[IrK00]P−1AXA=A=E^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}P\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&L \end{matrix}\right]EE^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}AXA=A=E−1[Ir0K0]P−1P[Ir00L]EE−1[Ir0K0]P−1 =E−1[IrK00][Ir00L][IrK00]P−1=E−1[IrKL00][IrK00]P−1=E−1[IrK00]P−1=A=E^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&L \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}=E^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& KL\\ 0&0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}=E^{-1}\left[\begin{matrix} I_r& K\\ 0&0 \end{matrix}\right]P^{-1}=A=E−1[Ir0K0][Ir00L][Ir0K0]P−1=E−1[Ir0KL0][Ir0K0]P−1=E−1[Ir0K0]P−1=A故，可知A(1)=P[Ir00L]EA^{(1)}=P\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&L \end{matrix}\right]EA(1)=P[Ir00L]E

简而言之，划重点啦！！！！
{1}逆=P[Ir00L]E\{1\}逆=P\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&L \end{matrix}\right]E{1}逆=P[Ir00L]E {2}逆=P[Ir000]E\{2\}逆=P\left[\begin{matrix} I_r& 0\\ 0&0 \end{matrix}\right]E{2}逆=P[Ir000]E

2.由满秩分解求广义逆

像这种单纯的及复杂的概念的我觉得不会考（实在是记不住哇）
对AAA进行满秩分解；A=FG,A∈Crm×n,F∈Crm×r,G∈Crr×nA=FG,A\in C^{m\times n}_{r},F\in C^{m\times r}_r,G\in C^{r\times n}_rA=FG,A∈Crm×n,F∈Crm×r,G∈Crr×n则

G(i)F(1)∈A{i}i=1,2,4G^{(i)}F^{(1)}\in A\{i\}\ \ i=1,2,4G(i)F(1)∈A{i} i=1,2,4
证明：当i=1时：FGG(1)F(1)FG=FG(∵GG(1)=Ir,F(1)F=Ir)当i=1时：FGG^{(1)}F^{(1)}FG=FG(\because GG^{(1)}=I_r,F^{(1)}F=I_r)当i=1时：FGG(1)F(1)FG=FG(∵GG(1)=Ir,F(1)F=Ir)即i=1i=1i=1时，G(1)F(1)∈A{1}G^{(1)}F^{(1)}\in A\{1\}G(1)F(1)∈A{1} 得证。i=2时：G(2)F(1)FGG(2)F(1)=G(2)GG(2)F(1)=G(2)F(1)i=2时：G^{(2)}F^{(1)}FGG^{(2)}F^{(1)}=G^{(2)}GG^{(2)}F^{(1)}=G^{(2)}F^{(1)}i=2时：G(2)F(1)FGG(2)F(1)=G(2)GG(2)F(1)=G(2)F(1)即i=2i=2i=2时，G(2)F(1)∈A{2}G^{(2)}F^{(1)}\in A\{2\}G(2)F(1)∈A{2} 得证。i=4时：(G(4)F(1)FG)H=(G(4)G)H=G(4)G(对G运用{4}逆的定义)=G(4)InG=G(4)F(1)FGi=4时：(G^{(4)}F^{(1)}FG)^{H}=(G^{(4)}G)^{H}=G^{(4)}G(对G运用\{4\}逆的定义)=G^{(4)}I_nG=G^{(4)}F^{(1)}FGi=4时：(G(4)F(1)FG)H=(G(4)G)H=G(4)G(对G运用{4}逆的定义)=G(4)InG=G(4)F(1)FG即i=4i=4i=4时，G(4)F(1)∈A{4}G^{(4)}F^{(1)}\in A\{4\}G(4)F(1)∈A{4} 得证。
G(1)F(i)∈A{i}i=1,2,3G^{(1)}F^{(i)}\in A\{i\}\ \ i=1,2,3G(1)F(i)∈A{i} i=1,2,3
证明：当i=1时：FGG(1)F(1)FG=FG当i=1时：FGG^{(1)}F^{(1)}FG=FG当i=1时：FGG(1)F(1)FG=FG即i=1i=1i=1时，G(1)F(1)∈A{1}G^{(1)}F^{(1)}\in A\{1\}G(1)F(1)∈A{1} 得证。i=2时：G(1)F(2)FGG(1)F(2)=G(1)F(2)FF(2)=G(1)F(2)i=2时：G^{(1)}F^{(2)}FGG^{(1)}F^{(2)}=G^{(1)}F^{(2)}FF^{(2)}=G^{(1)}F^{(2)}i=2时：G(1)F(2)FGG(1)F(2)=G(1)F(2)FF(2)=G(1)F(2)即i=2i=2i=2时，G(1)F(2)∈A{2}G^{(1)}F^{(2)}\in A\{2\}G(1)F(2)∈A{2} 得证。i=3时：(FGG(1)F(3))H=(FF(3))H=FF(3)(对F运用{3}逆的定义)=FInF(3)=FGG(1)F(3)i=3时：(FGG^{(1)}F^{(3)})^{H}=(FF^{(3)})^{H}=FF^{(3)}(对F运用\{3\}逆的定义)=FI_nF^{(3)}=FGG^{(1)}F^{(3)}i=3时：(FGG(1)F(3))H=(FF(3))H=FF(3)(对F运用{3}逆的定义)=FInF(3)=FGG(1)F(3)即i=3i=3i=3时，G(1)F(3)∈A{3}G^{(1)}F^{(3)}\in A\{3\}G(1)F(3)∈A{3} 得证。
G(1)F+∈A{1,2,3},G+F(1)∈A{1,2,4}G^{(1)}F^+\in A\{1,2,3\},G^+F^{(1)}\in A\{1,2,4\}G(1)F+∈A{1,2,3},G+F(1)∈A{1,2,4}
由以上1,2的证明可以很自然地得到这个结论。
A+=G+F(1,3)=G(1,4)F+A^+=G^+F^{(1,3)}=G^{(1,4)}F^+A+=G+F(1,3)=G(1,4)F+
证明：G+F(1)∈A{1,2,4}G^+F^{(1)}\in A\{1,2,4\}G+F(1)∈A{1,2,4} 由2可知G+F(3)∈A{3}G^+F^{(3)}\in A\{3\}G+F(3)∈A{3}综上可以得到：A+=G+F(1,3)A^+=G^+F^{(1,3)}A+=G+F(1,3)同理可得第二个结论
A+=G+F+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHAGH)−1FHA^+=G^+F^+=G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H=G^H(F^HAG^H)^{-1}F^HA+=G+F+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHAGH)−1FH
证明：∵GH(GGH)−1∈G{1,2,4},(FHF)−1FH∈F{1,2,3}\because G^H(GG^H)^{-1}\in G\{1,2,4\},(F^HF)^{-1}F^H\in F\{1,2,3\}∵GH(GGH)−1∈G{1,2,4},(FHF)−1FH∈F{1,2,3} ∴由前面结论可得A+=G+F+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH\therefore 由前面结论可得A^+=G^+F^+=G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H∴由前面结论可得A+=G+F+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH 又GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHFGGH)−1FH=GH(FHAGH)−1FH又 G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H=G^H(F^HFGG^H)^{-1}F^H=G^H(F^HAG^H)^{-1}F^H又GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHFGGH)−1FH=GH(FHAGH)−1FH

3.矩阵方程AXB=DAXB=DAXB=D的相容性条件及通解

3.1 定理1

矩阵方程AXB=DAXB=DAXB=D相容的充要条件：AA(1)DB(1)B=D,AA^{(1)}DB^{(1)}B=D,AA(1)DB(1)B=D,在相容条件下的矩阵方程通解为{A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1)∣Y为阶数合适的任意矩阵}\{A^{(1)}DB^{(1)}+Y-A^{(1)}AYBB^{(1)}|Y为阶数合适的任意矩阵\}{A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1)∣Y为阶数合适的任意矩阵}
证明：
充分性：令X=A(1)DB(1),显然AA(1)DB(1)B=AXB=D令X=A^{(1)}DB^{(1)},显然AA^{(1)}DB^{(1)}B=AXB=D令X=A(1)DB(1),显然AA(1)DB(1)B=AXB=D充分性得证
必要性：
已知AXB=DAXB=DAXB=D有解，那么D=AXB=AA(1)AXBB(1)B=AA(1)DB(1)BD=AXB=AA^{(1)}AXBB^{(1)}B=AA^{(1)}DB^{(1)}BD=AXB=AA(1)AXBB(1)B=AA(1)DB(1)B接下来证明通解。

通解有两个含义：1，解集中的任何元素为方程的解。2，方程的任意解均可以由集合中的元素表示出来
将X=A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1)X=A^{(1)}DB^{(1)}+Y-A^{(1)}AYBB^{(1)}X=A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1)带入可得AXB=A(A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1))B=AA(1)DB(1)B+AYB−AYB=DAXB=A(A^{(1)}DB^{(1)}+Y-A^{(1)}AYBB^{(1)})B=AA^{(1)}DB^{(1)}B+AYB-AYB=DAXB=A(A(1)DB(1)+Y−A(1)AYBB(1))B=AA(1)DB(1)B+AYB−AYB=D
再证明第二点：AXB=DAXB=DAXB=D X=A(1)DB(1)+X−A(1)DB(1)=A(1)DB(1)+X−A(1)AXBB(1)X=A^{(1)}DB^{(1)}+X-A^{(1)}DB^{(1)}=A^{(1)}DB^{(1)}+X-A^{(1)}AXBB^{(1)}X=A(1)DB(1)+X−A(1)DB(1)=A(1)DB(1)+X−A(1)AXBB(1)对应于Y=XY=XY=X的情况。

3.2 推论

线性方程组AX=bAX=bAX=b有解的充要条件为：AA(1)b=b(取B为In),AA^{(1)}b=b(取B为I_n),AA(1)b=b(取B为In),通解为{A(1)b+y−A(1)Ay∣y为列向量}\{A^{(1)}b+y-A^{(1)}Ay|y为列向量\}{A(1)b+y−A(1)Ay∣y为列向量}
A{1}(AXA=A的解)A\{1\}(AXA=A的解)A{1}(AXA=A的解)为如下集合{A(1)DA(1)+X−A(1)AXAA(1)},\{A^{(1)}DA^{(1)}+X-A^{(1)}AXAA^{(1)}\},{A(1)DA(1)+X−A(1)AXAA(1)},四个A{1}A\{1\}A{1}可互不相同

极小范数解

对通解的理解还是有点欠缺

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