SDNUOJ 1520.采药(多重背包问题)

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Description
SQK上山去采药。SQK有一个容量为m(1<=m<=1000)的背包，他所采集的药材的总重量不能大于背包的容量。已知共有n(1<=n<=100 )种药材，每种药材都有自己的价值，并且知道每种药材的数量是有限的，如何选择，才能使得背包中药材价值最大？

Input
输入数据首先包含一个正整数C(1<=C<=10)，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数m和n(1<=m<=1000, 1<=n<=100),分别表背包的负重和药材的种类，然后是n行数据，每行包含3个数w，v和c(1<=w<=100,1<=v<=200,1<=c<=100)，分别表示每种药材的重量、每株的价值以及对应种类药材的株数。

Output
对于每组测试数据，请输出能够采集药材的最大价值，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
8 2
2 100 4
4 100 2

Sample Output
400

Source
2016_SunQianKun

1.暴力
先来最暴力的解法，时间复杂度为O(n^3)，就是多了相较于01背包多了一层循环枚举这次选几个，但要注意一定要加上能不能塞进去n个的判断。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1005];
int max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}
int main()
{int C;cin>>C;for(int i=1;i<=C;++i){memset(dp,0,sizeof(dp));int m,n;cin>>m>>n;int w,v,c;for(int j=1;j<=n;++j){cin>>w>>v>>c;for(int k=m;k>=w;--k){for(int p=1;p<=c&&p*w<=k;++p)//能不能塞进去p个的判断一定要加 {dp[k]=max(dp[k],dp[k-w*p]+v*p);}}}cout<<dp[m]<<endl;}return 0;
}

2.二进制优化
再来一个经过二进制优化过的方法，该方法的时间复杂度比上一个好了一些，是O(nnlog(2)n)，该优化方式实际上就是将每个物品能拿的个数进行了二进制分解，然后将分解后的那几个分别当成独立的物品，存到物品数组中，然后就是01背包问题了，为什么能保证每个容量的背包的解是正确的？因为一个数字进行二进制分解后，利用分解出来的数字的组合可以至少从1表示到那个数字，但是要注意如果是像10这样无法完全进行二进制分解的数不要让分解后的数组合后可以比它大，因为最多就能装10件，多了装不了，因此我们只要最后剩下一个不能用2的几次方表示的数就行了，10可以分解为1，2，4，3，这些数经过组合可以表示出1-10中任意一个数。
下面是代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1005];
struct data{int w;int v;
}grass[1005];//存放物品的数组
int max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}
int main()
{int C;cin>>C;for(int i=1;i<=C;++i){int grassi=1;memset(dp,0,sizeof(dp));int m,n;cin>>m>>n;for(int j=1;j<=n;++j){int w,v,c;cin>>w>>v>>c;for(int k=1;k<=c;k*=2)//二进制拆分 ，拆分出来的当成一个独立的物品 {c-=k;grass[grassi].v=v*k;grass[grassi++].w=w*k;}if(c>0)//将残余情况的加进去 {grass[grassi].v=v*c;grass[grassi++].w=w*c;}}for(int i=1;i<grassi;++i){for(int j=m;j>=grass[i].w;--j){dp[j]=max(dp[j],dp[j-grass[i].w]+grass[i].v);//01背包 }}cout<<dp[m]<<endl;}return 0;
}

3.单调队列优化

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=20005;
int dp[maxn],que[maxn],book[maxn];
int max(int x,int y)
{return x>y?x:y;
}
int main()
{int W,N;cin>>N>>W;//N是有几种物品，W是背包最多能容纳的重量 for(int i=1;i<=N;++i){int w,v,c;cin>>w>>v>>c;//w是该物品的重量，v是该物品的价值，c是该物品最多能拿的数量 if(w*c>=W)//如果能拿的这一个物品拿最多的质量大于背包总共能装的质量，就可以用完全背包问题来处理。 {for(int ind=w;ind<=W;++ind){dp[ind]=max(dp[ind],dp[ind-w]+v);}}else{for(int ind=0;ind<w;++ind){int head=0,tail=0;for(int jnd=0;jnd<=(W-ind)/w;++jnd){int temp=dp[ind+jnd*w]-jnd*v;while(head<tail&&que[tail-1]<=temp)--tail;book[tail]=jnd;que[tail++]=temp;if(book[head]<jnd-c)++head;dp[ind+jnd*w]=que[head]+jnd*v;}}}}cout<<dp[W]<<endl;return 0;
}

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