理想流体势流

求速度势分布？

二维连续性方程 $u_x + v_y = 0$
速度势 $\phi$ ， $u = \phi_x, v = \phi_y$ ，得到速度势方程 $\phi_{xx} + \phi_{yy} = 0$

边界条件有速度势，速度势的导数。边界1、3的速度势法线方向导数为0（即法向速度为0），边界4速度势法线方向导数为2，边界2速度势为0。

用三角形单元划分，求出单元方程，组成出整体方程。

计算结果——速度势的分布图

补充

理想流体：黏度为0，密度为常数，不可压缩。
势流：无旋速度场
达朗伯悖论：他从1744年起开始采用分析方法求物体在流体中的运动阻力，1752年他指出，物体在无界不可压缩无粘性流体中作匀速直线运动时，所受到的合力等于零。
势流理论https://wenku.baidu.com/view/0620a42ded630b1c59eeb5c9.html

牛顿流体流动

粘度为常数，壁面无滑移

连续性方程
$u_x+v_y=0$
运动方程
$-\frac{\partial p}{ \partial x} + \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = 0$
$-\frac{\partial p}{ \partial y} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} = 0$
本构方程——应力与应变速率的关系，这是与固体力学不同的
$\tau = \mu \dot{\gamma}$

应力是一个二阶张量

我特别羡慕本科读力学专业，研究生转工科专业的学生。

边界条件：速度值、压力值，这是第一种边界条件

速度-压力有限元求解

四边形单元——求解压力，二次四边形单元——求解速度

压力形函数矩阵 $\psi$ 、速度形函数矩阵 $\phi$ ，写出加权余量方程

速度用速度形函数矩阵与节点速度向量的乘积表示，压力用压力形函数矩阵与节点压力向量的乘积表示。带入加权余量方程，进行化简。

B、C、D是对形函数矩阵与形函数矩阵导数组成的量的积分，积分用高斯积分计算。

将所有单元的组装起来，求解线性方程组。

罚函数有限元求解

连续性方程改写如下，λ足够大

将带入运动方程的加权余量方程。因为将连续性方程带入运动方程的加权余量方程，所以不需要求连续性方程的加权余量方程

DP是对形函数矩阵与形函数矩阵导数组成的量的积分，积分用高斯积分计算。

将所有单元的组装起来，求解线性方程组。求解出速度后，带入改写的连续性方程求解出压力。

补充

高斯积分

柯西应力张量是一个对称张量

非牛顿流体流动

流体性能满足幂律流体本构方程，
粘度与剪切速率有关，

组装出整体方程

开始，取n=1，即 $%u03BC=m$ $\mu = m$ ，m为稠度。求出u、v、p。
由u、v求出粘度μ。求出u、v、p。

也就是 $u_{k-1}, v_{k-1} \rightarrow \mu_k \rightarrow u_{k+1}, v_{k+1}, p_{k+1}$
直到收敛则停止迭代，即只要R满足要求则停止迭代

考虑惯性项的牛顿流体流动

运动方程增加了惯性项

将本构方程带入运动方程

加权余量方程推导，用两种方法
方1

方2

非线性方程组求解

方1求解，相当于 A(x)*x=b，方2求解，相当于A(x(n))*x=b，所以这是非线性方程组

牛顿莱普森法

方1
$R=A(x)*x-b$
$J = R_x$
$J_k x_{k+1} = J_k x_{k} - R^k$

方2
$R=A(x(n))*x-b$
$J = R_x$
$J_k x_{k+1} = J_k x_{k} - R^k$

直到x收敛

线性化交替迭代法

方1
$A(x_k)*x_{k+1} = b$

方2
$A(x_k(n))*x_{k+1} = b$

直到x收敛

补充

雷诺数为惯性项与粘性项间的比值

同样问题，考虑惯性项与不考虑时的出口流量差别随着入口压力的增加逐渐增大

入口压力增大，雷诺数也增大

因此，雷诺数越大，惯性项越不可忽略。

流量：体积流量、质量流量。
体积流量是流速对面积的积分

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