matlab圆柱饶流,有限元法解二维圆柱绕流问题.pdf

目录 1

1．问题描述 1

2．相关的有限元理论基础 1

2.1 二次泛函极值原理和里兹解法 1

2.2 伽辽金加权余数法 2

3．二维圆柱绕流的有限元解法 3

3.1 圆柱绕流问题的数学模型 3

3.2 数学模型的有限元法求解 4

3.3 有限元法求解的 MATLAB 实现 8

3.4 结果讨论 21

参考文献 23

1．问题描述

图 1 二维圆柱绕流问题

本作业尝试探索二维圆柱绕流的流函数的有限元数值解法及并绘出其流线图。

2．相关的有限元理论基础

2.1 二次泛函极值原理和里兹解法

设微分方程

Au f ,(在区域中) ， (1)

式中 A 为线性微分算子，如拉普拉斯算子等，它作用于函数 u 后产生函数 f ，这里 f 是给定

的已知函数。如果在区域内任意两函数 u、v 满足如下内积等式，则称算子 A 为对称的，即

(u, Av) uAvd (2)

如果(u, Au) 0 ，那么称A 是正定的。

如果算子 A 是对称正定的，可以证明使二次泛函

J(u)=(Au, u)-2(f, u) (3)

为极小值的 u 是微分方程(1)的解。因此，解微分方程(1)可以转化为解泛函(3)的极小值问题。

而如果算子 A 是负定的，即(u, Au) 0 ，那么泛函(3)的极大值 u 即为微分方程(1)的解。

例如对于泊松方程第一边值问题。

2 2 

 

u u

-( 2 + 2 )=f(x,y)x, y, 

x y

   (4)



u 0

s 

这里 S 为区域 Ω的边界。

可以证明，对于泊松方程第一边值问题，算子A 2 是对称的，正定的。

这样可以按照(3)式建立泛函并整理

J(u) (Au, u) 2(f, u)

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