三相电路

三相电路包括三相电源、三相负载和三相输电线路。

对称三相电源

对称三相电源是由三个同频率、等幅值、相位依次落后于初相120°的电源连接成星形（Y）或三角形（Δ）组成的电源。
Y形连接和Δ形连接的三相电源如下图所示，其中N-N’为中性线。

A、B、C分别为三相电源，则有
uA=Ucoosw、UA⃗=U∠0°u_A=Ucoosw、 \vec{U_A}=U\angle{0°}uA=Ucoosw、UA=U∠0°
uB=Ucos(w−120°)、UB⃗=U∠−120°u_B=Ucos(w-120°)、\vec{U_B}=U\angle{-120°}uB=Ucos(w−120°)、UB=U∠−120°
uC=Ucos(w+120°)、UC⃗=U∠120°u_C=Ucos(w+120°)、\vec{U_C}=U\angle{120°}uC=Ucos(w+120°)、UC=U∠120°

由上图可知
uA+uB+uC=0、UA⃗+UB⃗+UC⃗=0u_A+u_B+u_C=0、\vec{U_A}+\vec{U_B}+\vec{U_C}=0uA+uB+uC=0、UA+UB+UC=0
（注：ABC为正序，较为常用，CBA为逆序

三相负载

三个阻抗连接成星形或角形即构成星形负载和角形负载。
示例如下，其中，Z_l和Z_N为端线负载，若将N-N’连接，则为三相四线制，其余为三相三线制。

通常，三相电源、三相端线阻抗（不含Z_N）均对称，三相负载则不一定对称。

以下给出负载星角变换的公式：

角变星：
{R1=R31R12R12+R23+R31R2=R12R23R12+R23+R31R3=R23R31R12+R23+R31\begin{cases} R_1=\frac{R_{31}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}} \\R_2=\frac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}} \\ R_3=\frac{R_{23}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧R1=R12+R23+R31R31R12R2=R12+R23+R31R12R23R3=R12+R23+R31R23R31

星变角：
{R12=R1R2+R2R3+R3R1R3R23=R1R2+R2R3+R3R1R1R31=R1R2+R2R3+R3R1R2\begin{cases} R_{12}= \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3} \\ R_{23}= \frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1} \\R_{31}=\frac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2}\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧R12=R3R1R2+R2R3+R3R1R23=R1R1R2+R2R3+R3R1R31=R2R1R2+R2R3+R3R1

若R相等，则有RY=13RΔR_Y=\frac{1}{3}R_ΔRY=31RΔ
quick tip：星形阻抗一般小于角形阻抗

线值与相值的关系

线值与相值

线电流： 流经输电线的电流。下图红框部分电流，即A-A‘（B-B’或C-C’）之间的电流，常用IA⃗、IB⃗、IC⃗\vec{I_A}、\vec{I_B}、\vec{I_C}IA、IB、IC或I⃗AA′、I⃗BB′、I⃗CC′\vec{I}_{AA'}、\vec{I}_{BB'}、\vec{I}_{CC'}IAA′、IBB′、ICC′表示。

相电流： 流经负载的电流。常用I⃗A′N′、I⃗B′N′、I⃗C′N′\vec{I}_{A'N'}、\vec{I}_{B'N'}、\vec{I}_{C'N'}IA′N′、IB′N′、IC′N′ 或 I⃗A′B′、I⃗B′C′、I⃗C′A′\vec{I}_{A'B'}、\vec{I}_{B'C'}、\vec{I}_{C'A'}IA′B′、IB′C′、IC′A′表示（可参照上图）

线电压： 各端线之间（U⃗AB、U⃗BC、U⃗CA\vec{U}_{AB}、\vec{U}_{BC}、\vec{U}_{CA}UAB、UBC、UCA）的电压和负载端的电压（U⃗A′B′、U⃗B′C′、U⃗C′A′\vec{U}_{A'B'}、\vec{U}_{B'C'}、\vec{U}_{C'A'}UA′B′、UB′C′、UC′A′）

相电压： 每一项负载和阻抗的电压。常用 U⃗A、U⃗B、U⃗C\vec{U}_{A}、\vec{U}_{B}、\vec{U}_{C}UA、UB、UC或U⃗A′N′、U⃗B′N′、U⃗C′N′\vec{U}_{A'N'}、\vec{U}_{B'N'}、\vec{U}_{C'N'}UA′N′、UB′N′、UC′N′来表示

线相之间的关系

对于对称星形电源，线电压为U⃗AB、U⃗BC、U⃗CA\vec{U}_{AB}、\vec{U}_{BC}、\vec{U}_{CA}UAB、UBC、UCA，相电压U⃗A、U⃗B、U⃗C\vec{U}_{A}、\vec{U}_{B}、\vec{U}_{C}UA、UB、UC，有：
{U⃗AB=3U⃗A∠30°U⃗BC=3U⃗B∠30°U⃗CA=3U⃗C∠30°\begin{cases} \vec{U}_{AB}=\sqrt{3}\vec{U}_{A}\angle{30°} \\ \vec{U}_{BC}=\sqrt{3}\vec{U}_{B}\angle{30°} \\\vec{U}_{CA}=\sqrt{3}\vec{U}_{C}\angle{30°} \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧UAB=3UA∠30°UBC=3UB∠30°UCA=3UC∠30°
并且对于对称星形负载，线电流等于相电流

对于对称角形负载，线电流为IA⃗、IB⃗、IC⃗\vec{I_A}、\vec{I_B}、\vec{I_C}IA、IB、IC，相电流 I⃗A′B′、I⃗B′C′、I⃗C′A′\vec{I}_{A'B'}、\vec{I}_{B'C'}、\vec{I}_{C'A'}IA′B′、IB′C′、IC′A′有：
{I⃗A=3I⃗A′B′∠−30°I⃗B=3I⃗B′C′∠−30°I⃗C=3I⃗C′A′∠−30°\begin{cases} \vec{I}_{A}=\sqrt{3}\vec{I}_{A'B'}\angle{-30°} \\ \vec{I}_{B}=\sqrt{3}\vec{I}_{B'C'}\angle{-30°} \\\vec{I}_{C}=\sqrt{3}\vec{I}_{C'A'}\angle{-30°} \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧IA=3IA′B′∠−30°IB=3IB′C′∠−30°IC=3IC′A′∠−30°

并且对于对称角形电源，线电压等于相电压

相线关系如下图

quick tip：有变换时，线值总是大于相值

对称三相电路的计算

对于Y-Y形对称三相电路，由于对称性，计算一相即可根据关系写出其他两项。
对于其他连接方式的对称三相电路，只需要转换成Y-Y形连接再分析一项电路即可求解。

不对称三相电路

若令三相电源对称而三相负载不对称，不接中性线，利用结点电压法分析可得

U⃗NN′=U⃗AYA+U⃗BYB+U⃗CYCYA+YB+YC\vec{U}_{NN'}=\frac{\vec{U}_AY_A+\vec{U}_BY_B+\vec{U}_CY_C}{Y_A+Y_B+Y_C}UNN′=YA+YB+YCUAYA+UBYB+UCYC
此时N和N’点不重合，叫作中性点位移。

若接上中性线，则强制是U_NN‘为0，此时每一相独立互不影响，可以分开分析。但此时要注意，因为线（相）电流不对称，因此中性线电流一般不为0。

三相电路的功率

三相电路中，三相负载吸收的总功率为每项负载吸收复功率之和。

三相电路的功率为每一项负载的功率之和，对于对称三相电路，有：
p=pA+pB+pC=3UANIAcosφ=3PAp=p_A+p_B+p_C=3U_{AN}I_Acosφ=3P_Ap=pA+pB+pC=3UANIAcosφ=3PA

二瓦计法

在三相三线制中，利用两个功率表的方法测量三相功率的方法。
下图为一种测量接法。

线电流分别从 * 端流入功率表的电流线圈，它们的电压线圈的非 * 端接到非电流线圈所在的第3条端线上。
（电压看跨度，电流看*端）

两个功率表读数的代数和为右侧电路吸收的平均功率！！！（具体证明不给出）

以上图为例，在对称三相制中，令U⃗A=UA∠0°\vec{U}_A=U_A\angle{0°}UA=UA∠0°，IA∠−φI_A\angle{-φ}IA∠−φ:

P1=Re[U⃗ACI⃗A∗]=UACIAcos(φ−30°)P_1=Re[\vec{U}_{AC}\vec{I}_A^*]=U_{AC}I_{A}cos(φ-30°)P1=Re[UACIA∗]=UACIAcos(φ−30°)
P2=Re[U⃗BCI⃗A∗]=UBCIBcos(φ+30°)P_2=Re[\vec{U}_{BC}\vec{I}_A^*]=U_{BC}I_{B}cos(φ+30°)P2=Re[UBCIA∗]=UBCIBcos(φ+30°)

此外由线相关系可得：

P1=3UAIAcosφP_1=\sqrt{3}U_{A}I_{A}cosφP1=3UAIAcosφ
P2=3UBIBcos(φ+60°)P_2=\sqrt{3}U_{B}I_{B}cos(φ+60°)P2=3UBIBcos(φ+60°)

式中 φ 始终为负载的阻抗角。

此外，一般来说，单独一个功率表的读数没有意义。
另外，不对称三相四线制不能采用二瓦计法，因为中线电流不为0。

参考:
邱关源电路第五版

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