蒙提霍尔问题（三门问题）的思考与贝叶斯分析

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

人的直觉是换不换都是1/2，然而事实上换后赢汽车的概率是2/3。

这个问题很有意思，正确的答案和人直觉的答案不一样！

现在看这个问题，我会以贝叶斯理论去分析或者使用蒙特卡洛方法去编程模拟，得到结果。

如果不以数学的逻辑去推导计算，那怎么才能想清楚呢？

你可以这么理解：

上帝视角：第一次如果选了羊，那么决策就应该换。第一次如果选了车，那么决策不变。

事实上：第一次选羊的概率大，选车的概率小，所以换！

其实你还可以这么感性的去理解：

假如A门是选择的门，C门是另外一个未开启的门，A门在被选择以后就处于一种保护状态，相当于直接晋级了，而C门则是经过了厮杀冲到了下一关，至于此时选择A还是C呢？你就要想经过历练还能活下来的的大概率上总比走后门的强一些吧，所以一定要换成C!

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作为工科生，还是拿贝叶斯公式来分析一波：

首先看贝叶斯公式：

p(A|B)的意思是在B事件发生的情况下，A事件发生的概率。p(A,B)是两个事件同时发生的概率。

那么上面的公式可以延伸出下面的公式：

好，然后我们针对这个题目，我们假设有A、B、C三个门，参赛者选择了A门，主持人打开了B门，然后要参赛者在A门和C门之间抉择换还是不换。那么如果汽车在B门后面，换与不换得到汽车的概率均为0，如果换了能赢，那么汽车必须在C门后面，现在我们求以下概率：

我们先看分母，我们三种可能情况列一下：

所以分母为：

再看分子，当车在C后面时，参赛者选择了A门，支持人只有B门可以打开，所以：

而车在C门后的概率显而易见：

然后我们就求得了换门获胜的概率：

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这个问题就结束了。然而对于贝叶斯公式还没有结束。

贝叶斯公式还会有如下写法：

这个公式可以用在分类上，具体的可以去翻看我的另一篇博客

https://blog.csdn.net/macunshi/article/details/79815358，里面有使用朴素贝叶斯的方法对一条鱼的颜色进行分类的内容。

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