线性系统的状态空间分析和综合

系统数学描述的两种基本类型

对于系统的描述可用如下方块图表示:

系统的数学描述一般有两种基本类型.一种是系统的外部描述,即输入-输出描述.这种描述将系统看成是一个黑箱子,只是反映输入输出的因果关系,而不去表征系统内部的结构和内部变量,对于一个线性定常系统,一般用一个n阶微分方程及对应的传递函数描述.系统的另外一种描述就是内部描述,即状态空间描述.这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型,通常由两个数学方程组成.一个是反映内部变量x=[x1,x2,...,xn]Tx=[x1,x2,...,xn]T\mathbb{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^T和输入变量u=[u1,u2,...,up]Tu=[u1,u2,...,up]T\mathbb{u}=[u_1,u_2,...,u_p]^T间因果关系的数学表达式,常具有微分方程和差分方程(离散系统)的形式,称为状态方程;一个是表征系统内部变量x=[x1,x2,...,xn]Tx=[x1,x2,...,xn]T\mathbb{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^T及输入变量u=[u1,u2,..,up]Tu=[u1,u2,..,up]T\mathbb{u}=[u_1,u_2,..,u_p]^T和输出变量y=[y1,y2,...,yq]Ty=[y1,y2,...,yq]T\mathbb{y}=[y_1,y_2,...,y_q]^T间换关系的数学表达式,具有代数方程的形式,称为输出方程. 外部描述仅描述系统的外部特性,但是具有完全不同结构的系统也可能会有相同的外部特性,因此这种描述是不完全的,而内部描述则是系统的一种完全的描述,在我们的系统分析中也就更常见了.

系统描述的常用概念

输入和输出

由外部施加到系统上的全部激励成为输入,能从外部量测到的来自系统的信息成为输出

线性

简单的来说,满足齐次性和叠加性的系统就是线性的系统,这两种特性可用如下代数方程表达:

H(αu1)=αH(u1)H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)H(αu1)=αH(u1)H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)

H(\alpha\mathbb{u_1})=\alpha H(\mathbb{u_1})\\ H(\mathbb{u_1}+\mathbb{u_2})=H(\mathbb{u_1})+H(\mathbb{u_2})

时不变性(定常性)

线性时不变系统数学方程中各项的系数必为常数,只要有一项的系数是时间的函数,则是系统时变的.

系统状态空间描述的常用基本概念

状态方程

描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组(离散系统).其一般形式为:

x˙(t)=f[x(t),u(t),t]x˙(t)=f[x(t),u(t),t]

\dot{x}(t)=f[x(t),u(t),t]
或

x(tk+1)=f[x(tk),u(tk),tk]x(tk+1)=f[x(tk),u(tk),tk]

x(t_{k+1})=f[x(t_k),u(t_k),t_k]

输出方程

描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程,其一般形式为:

y(t)=g[x(t),u(t),t]y(t)=g[x(t),u(t),t]

y(t)=g[x(t),u(t),t]
或

y(tk)=g[x(tk),u(tk),tk]y(tk)=g[x(tk),u(tk),tk]

y(t_k)=g[x(t_k),u(t_k),t_k]

状态空间表达式

状态方程和输出方程的组合成为状态空间表达式,又称为动态方程,其一般形式为:

x˙(t)=f[x(t),u(t),t]y(t)=g[x(t),u(t),t]x˙(t)=f[x(t),u(t),t]y(t)=g[x(t),u(t),t]

\dot{x}(t)=f[x(t),u(t),t]\\y(t)=g[x(t),u(t),t]
或

x(tk+1)=f[x(tk),u(tk),tk]y(tk)=g[x(tk),u(tk),tk]x(tk+1)=f[x(tk),u(tk),tk]y(tk)=g[x(tk),u(tk),tk]

x(t_{k+1})=f[x(t_k),u(t_k),t_k]\\y(t_k)=g[x(t_k),u(t_k),t_k]

线性系统的状态空间表达式

线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程,输出方程是向量代数方程.线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为:

x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
对于离散时间系统,由于实践中常取 tk=kTtk=kTt_k=kT(T为采样周期),其状态空间表达式一般形式为:

x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)

x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)\\y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)
假设状态 xx\mathbb{x},输入 uu\mathbb{u},输出 yy\mathbb{y}的维数分别为n,p,q,则矩阵A(系统矩阵或状态矩阵)为n X n;矩阵B(控制矩阵或者输入矩阵)为n X p;矩阵C(观测矩阵或输出矩阵)为q X n;矩阵D(前馈矩阵或输入输出矩阵)为q X p.

线性定常系统

在线性状态空间表达式中,若系数矩阵A(t),B(t),C(t),D(t)或G(k),H(k),C(k),D(k)的各元数都是常数,则称该系统为线性定常系统,否则为线性时变系统.其一般表达式为:

x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
或

x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)

x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)\\y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)
当 D≡0D≡0D\equiv0时,系统称为绝对固有系统,否则成为固有系统.一般而言,我们分析的很多线性定常系统都是绝对固有的.这里再给一个传递函数的矩阵表达式:

G(s)=C(sI−A)−1B+DG(s)=C(sI−A)−1B+D

G(s)=C(sI-A)^-1B+D
以及拉普拉斯变换公式:

F(s)=∫∞0e−stf(t)dtF(s)=∫0∞e−stf(t)dt

F(s)=\int_0^\infty{e^{-st}f(t)dt}

以上所写大部分都来源于看的胡寿松主编的<<自动控制原理>>,也是作为自己的学习的开始