Chapter9.2：线性系统的状态空间分析与综合(上)

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
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第九章：线性系统的状态空间分析与综合

Example 9.11

已知线性系统的状态转移矩阵为：
Φ ( t ) = [ − 2 t e t + e 2 t 3 t e t + 2 e t − 2 e 2 t − t e t − e t + e 2 t − 2 t e t − 2 e t + 2 e 2 t 3 t e t + 5 e t − 4 e 2 t − t e t − 2 e t + 2 e 2 t − 2 t e t − 4 e t + 4 e 2 t 3 t e t + 8 e t − 8 e 2 t − t e t − 3 e t + 4 e 2 t ] \Phi(t)=\begin{bmatrix} -2t{\rm e}^t+{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^t-2{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-{\rm e}^{t}+{\rm e}^{2t}\\ -2t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+5{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t}\\ -2t{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{t}-8{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-3{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎡−2tet+e2t−2tet−2et+2e2t−2tet−4et+4e2t3tet+2et−2e2t3tet+5et−4e2t3tet+8et−8e2t−tet−et+e2t−tet−2et+2e2t−tet−3et+4e2t⎦⎤
求 Φ − 1 ( t ) \Phi^{-1}(t) Φ−1(t)及相应的状态矩阵 A A A.

解：

根据状态转移矩阵的运算性质可得：
Φ − 1 ( t ) = Φ ( − t ) = [ 2 t e − t + e − 2 t − 3 t e − t + 2 e − t − 2 e − 2 t t e − t − e − t + e − 2 t 2 t e − t − 2 e − t + 2 e − 2 t − 3 t e − t + 5 e − t − 4 e − 2 t t e − t − 2 e − t + 2 e − 2 t 2 t e − t − 4 e − t + 4 e − 2 t − 3 t e − t + 8 e − t − 8 e − 2 t t e − t − 3 e − t + 4 e − 2 t ] \Phi^{-1}(t)=\Phi(-t)=\begin{bmatrix} 2t{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{{-2t}} & -3t{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{-2t}\\ 2t{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} & -3t{\rm e}^{-t}+5{\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t}\\ 2t{\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t} & -3t{\rm e}^{-t}+8{\rm e}^{-t}-8{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-3{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ−1(t)=Φ(−t)=⎣⎡2te−t+e−2t2te−t−2e−t+2e−2t2te−t−4e−t+4e−2t−3te−t+2e−t−2e−2t−3te−t+5e−t−4e−2t−3te−t+8e−t−8e−2tte−t−e−t+e−2tte−t−2e−t+2e−2tte−t−3e−t+4e−2t⎦⎤
由于 Φ ˙ ( t ) = A Φ ( t ) ， Φ ( 0 ) = I \dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)，\Phi(0)=I Φ˙(t)=AΦ(t)，Φ(0)=I，所以：
A = Φ ˙ ( t ) ∣ t = 0 = [ − 2 e t − 2 t e t + 2 e 2 t 3 e t + 3 t e t + 2 e t − 4 e 2 t − e t − t e t − e t + 2 e 2 t − 2 e t − 2 t e t − 2 e t + 4 e 2 t 3 e t + 3 t e t + 5 e t − 8 e 2 t − e t − t e t − 2 e t + 4 e 2 t − 2 e t − 2 t e t − 4 e t + 8 e 2 t 3 e t + 3 t e t + 8 e t − 16 e 2 t − e t − t e t − 3 e t + 8 e 2 t ] ∣ t = 0 = [ 0 1 0 0 0 1 2 − 5 4 ] \begin{aligned} A&=\left.\dot{\Phi}(t)\right|_{t=0}\\\\ &=\left.\begin{bmatrix} -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{t}-t{\rm e}^{t}-{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t}\\ -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^t+5{\rm e}^{t}-8{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{t}-t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t}\\ -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{t}-16{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^t-t{\rm e}^{t}-3{\rm e}^t+8{\rm e}^{2t} \end{bmatrix}\right|_{t=0}\\\\ &=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & -5 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A=Φ˙(t)∣∣∣t=0=⎣⎡−2et−2tet+2e2t−2et−2tet−2et+4e2t−2et−2tet−4et+8e2t3et+3tet+2et−4e2t3et+3tet+5et−8e2t3et+3tet+8et−16e2t−et−tet−et+2e2t−et−tet−2et+4e2t−et−tet−3et+8e2t⎦⎤∣∣∣∣∣∣t=0=⎣⎡00210−5014⎦⎤

Example 9.12

已知系统的状态矩阵：

A = [ − 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 3 ] A=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡−1000−2000−3⎦⎤；
A = [ 2 − 1 − 1 0 − 1 0 0 2 1 ] A=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix} A=⎣⎡200−1−12−101⎦⎤；
A = [ − 2 1 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−20001−20001−20001−2⎦⎥⎥⎤；
A = [ − 2 1 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−20001−20000−20001−2⎦⎥⎥⎤；

解：

A = [ − 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 3 ] A=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡−1000−2000−3⎦⎤；

由于 A A A为对角阵，且具有互异元素，可得：
Φ ( t ) = [ e − t 0 0 0 e − 2 t 0 0 0 e − 3 t ] \Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-t} & 0 & 0\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & 0\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-3t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎡e−t000e−2t000e−3t⎦⎤
A = [ 2 − 1 − 1 0 − 1 0 0 2 1 ] A=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix} A=⎣⎡200−1−12−101⎦⎤；

利用拉普拉斯反变换法求解，由于：
( s I − A ) − 1 = [ s − 2 1 1 0 s + 1 0 0 − 2 s − 1 ] − 1 = 1 ( s − 1 ) ( s − 2 ) ( s + 1 ) [ ( s + 1 ) ( s − 1 ) − ( s + 1 ) − ( s + 1 ) 0 ( s − 1 ) ( s − 2 ) 0 0 2 ( s − 2 ) ( s + 1 ) ( s − 2 ) ] = [ 1 s − 2 1 s − 1 − 1 s − 2 1 s − 1 − 1 s − 2 0 1 s + 1 0 0 1 s − 1 − 1 s + 1 1 s − 1 ] Φ ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = [ e 2 t − e 2 t + e t − e 2 t + e t 0 e − t 0 0 − e − t + e t e t ] \begin{aligned} (sI-A)^{-1}&=\begin{bmatrix} s-2 & 1 & 1\\ 0 & s+1 & 0\\ 0 & -2 & s-1 \end{bmatrix}^{-1}\\\\ &=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s+1)}\begin{bmatrix} (s+1)(s-1) & -(s+1) & -(s+1)\\ 0 & (s-1)(s-2) & 0\\ 0 & 2(s-2) & (s+1)(s-2) \end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{s-2} & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2} & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2}\\ 0 & \displaystyle\frac{1}{s+1} & 0\\ 0 & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s-1} \end{bmatrix}\\\\ \Phi(t)&=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]=\begin{bmatrix} {\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{2t}+{\rm e}^{t} & -{\rm e}^{2t}+{\rm e}^t\\ 0 & {\rm e}^{-t} & 0\\ 0 & -{\rm e}^{-t}+{\rm e}^t & {\rm e}^t \end{bmatrix} \end{aligned} (sI−A)−1Φ(t)=⎣⎡s−2001s+1−210s−1⎦⎤−1=(s−1)(s−2)(s+1)1⎣⎡(s+1)(s−1)00−(s+1)(s−1)(s−2)2(s−2)−(s+1)0(s+1)(s−2)⎦⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡s−2100s−11−s−21s+11s−11−s+11s−11−s−210s−11⎦⎥⎥⎥⎥⎤=L−1[(sI−A)−1]=⎣⎡e2t00−e2t+ete−t−e−t+et−e2t+et0et⎦⎤
A = [ − 2 1 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−20001−20001−20001−2⎦⎥⎥⎤；

由于 A A A阵为约当阵，存在一个约当块，可得：
Φ ( t ) = [ e − 2 t t e − 2 t 1 2 t 2 e − 2 t 1 6 t 3 e − 2 t 0 e − 2 t t e − 2 t 1 2 t 2 e − 2 t 0 0 e − 2 t t e − 2 t 0 0 0 e − 2 t ] \Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & \displaystyle\frac{1}{2}t^2{\rm e}^{-2t} &\displaystyle\frac{1}{6}t^3{\rm e}^{-2t}\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & \displaystyle\frac{1}{2}t^2{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & 0 &{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡e−2t000te−2te−2t0021t2e−2tte−2te−2t061t3e−2t21t2e−2tte−2te−2t⎦⎥⎥⎥⎥⎤
A = [ − 2 1 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 2 1 0 0 0 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡−20001−20000−20001−2⎦⎥⎥⎤；

由于 A A A阵为约当阵，存在两个约当块，可得：
Φ ( t ) = [ e − 2 t t e − 2 t 0 0 0 e − 2 t 0 0 0 0 e − 2 t t e − 2 t 0 0 0 e − 2 t ] \Phi(t)= \begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & 0 & 0\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & 0 & 0\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎢⎢⎡e−2t000te−2te−2t0000e−2t000te−2te−2t⎦⎥⎥⎤

Example 9.13

设矩阵 A A A为 2 × 2 2\times2 2×2常数矩阵，对于系统的状态方程： x ˙ = A x \dot{x}=Ax x˙=Ax，当 x ( 0 ) = [ 1 − 1 ] x(0)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} x(0)=[1−1]时， x ( t ) = [ e − 2 t − e − 2 t ] x(t)=\begin{bmatrix}{\rm e}^{-2t}\\-{\rm e}^{-2t}\end{bmatrix} x(t)=[e−2t−e−2t]；当 x ( 0 ) = [ 2 − 1 ] x(0)=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} x(0)=[2−1]时， x ( t ) = [ 2 e − t − e − t ] x(t)=\begin{bmatrix}2{\rm e}^{-t}\\-{\rm e}^{-t}\end{bmatrix} x(t)=[2e−t−e−t]；确定矩阵 A A A。

解：

由于 x ( t ) = Φ ( t ) x ( 0 ) x(t)=\Phi(t)x(0) x(t)=Φ(t)x(0)，根据已知条件有：
[ e − 2 t − e − 2 t ] = Φ ( t ) [ 1 − 1 ] ， [ 2 e − t − e − t ] = Φ ( t ) [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t}\\ -{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} [e−2t−e−2t]=Φ(t)[1−1]，[2e−t−e−t]=Φ(t)[2−1]
联立可得：
[ e − 2 t 2 e − t − e − 2 t − e − t ] = Φ ( t ) [ 1 2 − 1 − 1 ] \begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & -1 \end{bmatrix} [e−2t−e−2t2e−t−e−t]=Φ(t)[1−12−1]
解得：
Φ ( t ) = [ e − 2 t 2 e − t − e − 2 t − e − t ] [ 1 2 − 1 − 1 ] − 1 = [ 2 e − t − e − 2 t 2 e − t − 2 e − 2 t − e − t + e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] \Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & -1 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 2{\rm e}^{-t}-{\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t}\\ -{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=[e−2t−e−2t2e−t−e−t][1−12−1]−1=[2e−t−e−2t−e−t+e−2t2e−t−2e−2t−e−t+2e−2t]
根据状态转移矩阵运算性质可得：
A = Φ ˙ ( t ) ∣ t = 0 = [ − 2 e − t + 2 e − 2 t − 2 e − t + 4 e − 2 t e − t − 2 e − 2 t e − t − 4 e − 2 t ] ∣ t = 0 = [ 0 2 − 1 − 3 ] A=\left.\dot\Phi(t)\right|_{t=0}=\left.\begin{bmatrix} -2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} & -2{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t}\\ {\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t} & {\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix}\right|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0 & 2\\ -1 & -3 \end{bmatrix} A=Φ˙(t)∣∣∣t=0=[−2e−t+2e−2te−t−2e−2t−2e−t+4e−2te−t−4e−2t]∣∣∣∣t=0=[0−12−3]

Example 9.14

已知线性定常自治系统的状态方程为：
x ˙ = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] x ， x ( 0 ) = [ 1 1 2 ] \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x，x(0)=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} x˙=⎣⎡000100010⎦⎤x，x(0)=⎣⎡112⎦⎤
求系统的状态轨线。

解：

线性定常齐次状态方程的解为： x ( t ) = e A t x ( 0 ) x(t)={\rm e}^{At}x(0) x(t)=eAtx(0).

由已知条件可知：
A = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] ， A 2 = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ， A k = 0 ， ∀ k ≥ 3 e A t = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! t k A k = I + A t + 1 2 A 2 t 2 = [ 1 t 1 2 t 2 0 1 t 0 0 1 ] \begin{aligned} &A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，A^2=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，A^k=0，\forall{k}≥3\\\\ &{\rm e}^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}t^kA^k=I+At+\frac{1}{2}A^2t^2=\begin{bmatrix} 1 & t & \displaystyle\frac{1}{2}t^2\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} A=⎣⎡000100010⎦⎤，A2=⎣⎡000000100⎦⎤，Ak=0，∀k≥3eAt=k=0∑∞k!1tkAk=I+At+21A2t2=⎣⎢⎡100t1021t2t1⎦⎥⎤
故系统状态轨线为：
x ( t ) = e A t x ( 0 ) = [ 1 t 1 2 t 2 0 1 t 0 0 1 ] [ 1 1 2 ] = [ 1 + t + t 2 1 + 2 t 2 ] x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} 1 & t & \displaystyle\frac{1}{2}t^2\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1\\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+t+t^2\\ 1+2t\\ 2 \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=⎣⎢⎡100t1021t2t1⎦⎥⎤⎣⎡112⎦⎤=⎣⎡1+t+t21+2t2⎦⎤

Example 9.15

求下列齐次状态方程的解：

x ˙ ( t ) = [ 0 1 − 1 0 ] x ( t ) ， x ( 0 ) = [ 1 1 ] \dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} x˙(t)=[0−110]x(t)，x(0)=[11]；
x ˙ ( t ) = [ σ ω ω − σ ] x ( t ) ， x ( 0 ) = [ σ ω ] \dot{x}(t)=\begin{bmatrix}\sigma&\omega\\\omega&-\sigma\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}\sigma\\\omega\end{bmatrix} x˙(t)=[σωω−σ]x(t)，x(0)=[σω]；

解：

x ˙ ( t ) = [ 0 1 − 1 0 ] x ( t ) ， x ( 0 ) = [ 1 1 ] \dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} x˙(t)=[0−110]x(t)，x(0)=[11]；

齐次线性方程的解的形式为： x ( t ) = e A t x ( 0 ) x(t)={\rm e}^{At}x(0) x(t)=eAtx(0)。

由于
e A t = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = L − 1 [ s s 2 + 1 1 s 2 + 1 − 1 s 2 + 1 s s 2 + 1 ] = [ cos ⁡ t sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t ] {\rm e}^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]=L^{-1}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s}{s^2+1} & \displaystyle\frac{1}{s^2+1}\\ -\displaystyle\frac{1}{s^2+1} & \displaystyle\frac{s}{s^2+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{t} & \sin{t}\\ \sin{t} & \cos{t} \end{bmatrix} eAt=L−1[(sI−A)−1]=L−1⎣⎢⎡s2+1s−s2+11s2+11s2+1s⎦⎥⎤=[costsintsintcost]
因此
x ( t ) = e A t x ( 0 ) = [ cos ⁡ t + sin ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t ] x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} \cos{t}+\sin{t}\\ \cos{t}-\sin{t} \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=[cost+sintcost−sint]
x ˙ ( t ) = [ σ ω ω − σ ] x ( t ) ， x ( 0 ) = [ σ ω ] \dot{x}(t)=\begin{bmatrix}\sigma&\omega\\\omega&-\sigma\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}\sigma\\\omega\end{bmatrix} x˙(t)=[σωω−σ]x(t)，x(0)=[σω]；

齐次线性方程的解的形式为： x ( t ) = e A t x ( 0 ) x(t)={\rm e}^{At}x(0) x(t)=eAtx(0)。

由于
( s I − A ) − 1 = [ s − σ − ω − ω s + σ ] − 1 = [ s + σ ( s − σ ) ( s + σ ) − ω 2 ω ( s − σ ) ( s + σ ) − ω 2 ω ( s − σ ) ( s + σ ) − ω 2 s − σ ( s − σ ) ( s + σ ) − ω 2 ] (sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} s-\sigma & -\omega\\ -\omega & s+\sigma \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s+\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \displaystyle\frac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2}\\ \displaystyle\frac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \displaystyle\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} \end{bmatrix} (sI−A)−1=[s−σ−ω−ωs+σ]−1=⎣⎢⎡(s−σ)(s+σ)−ω2s+σ(s−σ)(s+σ)−ω2ω(s−σ)(s+σ)−ω2ω(s−σ)(s+σ)−ω2s−σ⎦⎥⎤
因此
e A t = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = L − 1 [ a s − σ 2 + ω 2 + c s + σ 2 + ω 2 b s − σ 2 + ω 2 − b s + σ 2 + ω 2 b s − σ 2 + ω 2 − b s + σ 2 + ω 2 c s − σ 2 + ω 2 + a s + σ 2 + ω 2 ] = [ a e σ 2 + ω 2 t + c e − σ 2 + ω 2 t b e σ 2 + ω 2 t − b e − σ 2 + ω 2 t b e σ 2 + ω 2 t − b e − σ 2 + ω 2 t c e σ 2 + ω 2 t + a e − σ 2 + ω 2 t ] \begin{aligned} {\rm e}^{At}&=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]\\\\ &=L^{-1}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{a}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\displaystyle\frac{c}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \displaystyle\frac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\displaystyle\frac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\\\\ \displaystyle\frac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\displaystyle\frac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \displaystyle\frac{c}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\displaystyle\frac{a}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} \end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} a{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+c{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}&b{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-b{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\\\\ b{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-b{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t} & c{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+a{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t} \end{bmatrix} \end{aligned} eAt=L−1[(sI−A)−1]=L−1⎣⎢⎢⎢⎡s−σ2+ω2 a+s+σ2+ω2 cs−σ2+ω2 b−s+σ2+ω2 bs−σ2+ω2 b−s+σ2+ω2 bs−σ2+ω2 c+s+σ2+ω2 a⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎡aeσ2+ω2 t+ce−σ2+ω2 tbeσ2+ω2 t−be−σ2+ω2 tbeσ2+ω2 t−be−σ2+ω2 tceσ2+ω2 t+ae−σ2+ω2 t⎦⎤
其中：
a = σ + σ 2 + ω 2 2 σ 2 + ω 2 ， b = ω 2 σ 2 + ω 2 ， c = σ 2 + ω 2 − σ 2 σ 2 + ω 2 a=\frac{\sigma+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}，b=\frac{\omega}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}，c=\frac{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}-\sigma}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} a=2σ2+ω2 σ+σ2+ω2 ，b=2σ2+ω2 ω，c=2σ2+ω2 σ2+ω2 −σ
则
x ( t ) = e A t x ( 0 ) = [ σ 2 + ω 2 + σ σ 2 + ω 2 2 σ 2 + ω 2 e σ 2 + ω 2 t − σ 2 + ω 2 − σ σ 2 + ω 2 2 σ 2 + ω 2 e − σ 2 + ω 2 t ω 2 ( e σ 2 + ω 2 t + e − σ 2 + ω 2 t ) ] x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{\sigma^2+\omega^2+\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-\frac{\sigma^2+\omega^2-\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\\\\ \displaystyle\frac{\omega}{2}\left({\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\right) \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=⎣⎢⎢⎢⎡2σ2+ω2 σ2+ω2+σσ2+ω2 eσ2+ω2 t−2σ2+ω2 σ2+ω2−σσ2+ω2 e−σ2+ω2 t2ω(eσ2+ω2 t+e−σ2+ω2 t)⎦⎥⎥⎥⎤