一、数值微分与数值积分

1、数值微分

如果去掉极限h趋向于0的过程，就得到在x0点处的、以h为步长的：

如果h步长充足小，则得到在x0点处的、以h为步长的：

总结：
函数f(x)在x0处的微分接近于函数在该点的差分，f(x)在x0点的导数接近于函数在该点的差商。

好，明白了上面的概念，现在来看数值微分的实现：

看向前差分函数diff()函数

举例：
sort(2pirand(15000),2*pi);是求0 - 2pi开区间的随机数，并按照从小到大排列。
diff(y)./diff(x)是求差商向量。
注：sin(x)的导数是con(x)，因此我们这里用con(x)验证sin(x)导数的正确性。
注：右侧的曲线是两条重合的曲线。
注：norm()求理论值与近似值的差。可以看出误差很小。

2、数值积分

根据牛顿莱布尼茨公式求原函数比较困难（对于有些函数），但是我们可以使用下面的办法，：

MATLAB提供了相应的求积分的函数：
方法一quad()
方法二quadl()

举例：
从下例可以看出：
quad()执行61次，quadl()执行48次，因此quadl()执行效率更高。
注：右侧的程序是用于对左侧的 atan()函数适用于求反正切的。

方法三integral()

举例：

方法四quadgk()

举例：

方法五梯形积分法
（有时，人们并不知道函数是什么，只有实验测定的一组样本点和样本值，上述函数使用不了了怎么办？matlab提供了梯形积分法）

举例：
注：I2是对I1的验证

多重定积分的求解

举例：

二、线性方程组求解

主要有下面两种方法：

1、直接法

直接解法一：

例：

直接解法二

本节重点介绍LU分解：

LU分解方法有两种
lu()函数

举例：

2、接下来讲迭代法
先用一个例子说明迭代法的基本思想

介绍两种迭代法：

雅可比迭代法

看雅可比矩阵的具体实现方法：
新建一个函数文件：
function [y,n] = jacobi(A,b,x0,ep)
A,b,x0,ep是输入参数，分别代表系数矩阵、右端列向量、迭代的初值和精度。
y,n为输出参数，分别代表方程的解和迭代次数。
diag(diag(A))是求对角矩阵D
L是A的下三角阵
U是A的上三角阵
y是第一次迭代结果
在循环中，直到计算精度y - x0满足所要求的ep为止。

接下来介绍高斯赛德尔迭代法
对雅可比迭代法的公式进行改进：

接下来看高斯赛德尔迭代实现的方法（编程和雅可比相似）

举例：
（分别用雅可比和高斯赛德尔进行计算，以进行对比）

可以看出，一般情况下高斯赛德尔更快，但是也不一定，某些情况下雅可比更快，比如：
（下例高斯赛德尔并不收敛，计算失败）

在选择这两种方法中的哪一个时，应该选择可以做到收敛的方法，选择更快的方法。

三、线性方程组应用举例

本节看两个例子：

1、第一个例子

以E为例进行受力分析：

同理，分析出其他点：

我们来编程，以求出各f：
（注：求出的结果中，正数表示拉力，负数表示压力）

2、看第二个例子

我们的目的是求出各个ai

这个线性方程组又等价于：

我们把各个xi 、yi代入上面这个系数矩阵，就可以求出各个ai。
编程：

四、非线性方程求解与函数极值计算

对于二次的非线性方程你能够解，那对于5次的呢？你可以借助于MATLAB工具。
1、单变量非线性方程求解 - fzero函数

举例：
从下图可知，当初值取-5和1时，可以较好的获得方程f(x)的根
（我们看右边的这个图，可以估计出方程的根在x0 = -5和x0 = 1附近）
如果我们取x0 = 0.1所得到的X3就不对，这是初值没有选对。
怎么选取初值，要根据我们的具体问题来进行分析。

初值的选取很重要。
在看一个例子：
我们知道下面方程的根为±1对吧，我们故意让初值为-0.02 ~ 0.25，并把初值和fzero()求得的方程的根画出一个图表如右图所示。可以看出fzero()执行的是一个数值搜索过程，搜索结果依赖于函数特性和我们指定的初值。

2、非线性方程组的求解 - fsolve()

我们用flove()求上面的例1：
（注：Display,off表示不显示中间结果）
（这里可以发现，使用flove()求得的x3求对了，和x2一样）

fslove()函数功能更强，可以求解非线性方程组，例题如下：
注：f([1,1,1])展示了匿名函数的调用方法。
f(x)命令是将求得的解代入f函数，说明此处函数值很接近于0，说明所求的根还是很准确的。

3、函数极值的计算
(包括极大值和极小值，或者说最大值和最小值)
（MATLAB只可以求最小值，如果你想要求最大值，那可以求-f(x)的最小值）

下面我们讨论有约束最优化问题、无约束最优化问题。
先看无约束最优化问题：

无约束最优化问题有下面三种计算方式：
fminbnd()求开区间x1，x2的最小值
fminsearch()基于单纯形算法，求多元函数极小值点和极小值
fminunc()基于拟牛顿法，求多元函数极小值点和极小值

例：

下面看有约束最优化问题：

有约束最优化问题求解 - fmincon()

例：
A和b是定义线性不等式约束；
lb是解的下界；

最小值应用问题实例：
（读题可以看出，这是一个无约束最小值问题）

向量a表示五个工厂位置的横坐标；向量b表示五个工厂位置的纵坐标。
向量c表示平均每周向五个工厂运输的次数。
注：x(1)代表x，x(2)代表y。
最后求出坐标为(19.8143,41.1247)，最小运输举例为1.3618e+03

再来看一例（在例5的基础上增加一个约束条件）
（下图h是约束条件）

在命令行窗口输入如下命令：

五、常微分方程数值求解

1、常微分方程数值求解的一般概念

看常微分方程求解函数 - solver()

不懂？没关系，我们来看例子。
[t,y] = odr23(f,[0,10],2); 用于求数值解；
y1 = sqrt(t+1) + 1;用于求精确解。
然后将二者绘制出来曲线图形（数值解（蓝色虚线）、精确解（红色实线）），二者进行对比，发现重合。

再来看一个例子：

看一类特殊常微分方程，即刚性问题：
（非刚性算法也可以计算，只是计算时间太长）

解这个问题，我们先来用非刚性算法来求解：
发现时间很短，才0.0057秒，要是增加lamda呢？如下图，发现时间增加到了2.9秒。

好，我们来是使用刚性算法：
（ode15s中的s代表专门求解刚性问题的函数）
仍然取lamda为le-5，发现时间减小到了0.07秒，计算的点数也大大减少。

六、常微分方程应用举例

Lotka-Volterra模型
本节未写。
详见https://www.icourse163.org/learn/CSU-1002475002?tid=1450231442#/learn/content?type=detail&id=1214375645&cid=1218036488

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