1.数值微分与数值积分

数值微分

MATLAB提供了求向前差分的函数diff,其调用格式有三种:

dx=diff（x）:计算向量x的一阶向前差分,dx（i）=x（i+1）-x（i）,i=1,2,…,n-1。
dx=diff（x，n）:计算向量x的n阶向前差分。例如,diff（x，2）=diff（diff（x））
dx= diff（A, n, dim）:计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(默认状态)，按列计算差分;dim=2,按行计算差分。

数值积分

基于自适应辛普森方法
[l, n]=quad(filename, a, b, tol, trace)
基于自适应 Causs-Lobatto方法
[I, n]=quadI(filename, a, b, tol, trace)
其中, filename是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限[a,b]必须是有限的,不能为无穷大(lnf);tol用来控制积分精度,默认时取tol=10-6; trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,默认时取trace=0;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。
基于全局自适应积分方法
I=integral(filename, a, b）
其中,I是计算得到的积分; filename是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大。
基于自适应高斯-克朗罗德方法
[I，err]=quadgk(filename, a, b)
其中,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(-Inn或Inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则 quadgk函数在复平面上求积分。
基于梯形面积法则求积分
trapz（x，y），y是x的函数。

多重积分

求二重积分的数值解：

I=integral(filename, a, b, c, d)
I=quad2d(filename, a, b, c, d)
I=dblquad(filename, a, b, c, d, tol)

求三重积分的数值解：

I=integral3(filename, a, b, c, d, e, f)
I=triplequad(filename, a, b, c, d, e, f, tol)

2.线性方程组求解

直接法:以矩阵初等变换为基础,可以求得方程组的精确解;占用的内存空间大、程序实现较为复杂;一般适合求解低阶稠密线性方程组。
迭代法:从绐定初始值逐步逼近精确解,的过程,求解过程占用存储空间小、程序设计简单;适用于求解大型稀疏矩阵线性方程组;要考虑算法的收鲛性。

线性方程组的直接解法

（1）利用左除运算符的直接解法
Ax=b ——x=A\b
注意：如果矩阵A是奇异的或接近奇异的，则MATLAB会给出警告信息。

（2）利用矩阵分解求线性方程组

LU分解
将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积

[L，U]=lu（A）：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L,使之满足A=LU。注意,这里的矩阵A必须是方阵。
[L，U，P]=lu（A）：产生一个上三角阵U和一个下三角阵以及个置换矩阵P,使之满足PA=LU。同样,矩阵A必须是方阵。
QR分解
Cholesky分解

线性方程组的迭代解法

雅克比（Jacobi）迭代法

定义y为方程组的解，n为迭代次数，A为系数矩阵，b为列向量，x0为初值，ep为要求的范数。
高斯-赛德尔（Gauss-Serdel）迭代法

3.线性方程组应用举例

平面桁架结构受力分析问题

小行星运行轨道计算问题

4.非线性方程求解与函数极值计算

非线性方程数值求解

（1）单变量非线性方程求解
函数的调用格式为:
x=fzero（filename，x0）
其中, filename是待求根方程左端的函数表达式,x0是初始值。

（2）非线性方程组的求解
函数的调用格式为:
x=fsolve(filename, X0, option)
其中,x为返回的近似解, filename是待求根方程左端的函数表达式,x0是初值, option用于设置优化工具箱的优化参数,可以调用optimset函数来完成。

函数极值的计算

MATLAB只能求最小值，若求最大值，可以转化为求-f（x）的最小值。
（1）无约束最优化问题
求最小值的函数：
[xmin，fmin]=fminbnd（filename，x1，x2，option）
[xmin，fmin]=fminsearch（filename，x0，option）
[xmin，fmin]=fminunc（filename，x0，option）

其中, filename是定义的目标函数。第一个函数的输入变量x1、x2分别表示被研究区间的左、右边界。后两个函数的输入变量x0是一个向量,表示极值点的初值。 option为优化参数,可以通过 optimise函数来设置

（2）有约束最优化问题
求有约束条件下最小值的函数为
[xmin，fmin]=fmincon（filename, x0, A, b, Aeq, beq. Lbnd, Ubnd, NonF, option）

其中,xmin、fmin、 filename、x0和 option的含义与求最小值函数相同。其余参数为约束条件,包括线性不等式约束、线性等式约束、x的下界和上界以及定义非线性约束的函数。如果某个约束不存在,则用空矩阵来表示。

5.常微分方程数值求解

常微分方程数值求解的一般概念

单步法:在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算,其代表是龙格-库塔( RUnge-Kutta)法
多步法:在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p(p=1,2,…,k,k>0)的值即前面的k步,其代表就是亚当斯(Adams)法。

常微分方程数值求解函数

函数调用格式为:
[t, y]=solver(filename, tspan, y0, option)
其中,t和y分别给出时间向量和相应的数值解; solver为求常微分方程数值解的函数; filename是定义f(t,y)的函数名,该函数必须返回一个列向量; tspan形式为[t0,tf],表示求解区间;y0是初始状态向量;option是可选参数,用于设置求解属性。

常微分方程数值求解函数的统一命名格式:
odennxx
其中,ode是 Ordinary Differential Equation的缩写,是常微分方程的意思;nn是数字,代表所用方法的阶数;xx是字母,用于标注方法的专门特征。

刚性问题

有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题（stiff）。
刚性问题调用ode函数中将xx设置为s。

6.常微分方程应用举例

Lotka-Volterra模型

Lotka-Volterra改进模型

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