数据分析时间序列分析 ARMA模型

一.概念
1.概念:

具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型(Auto Regression Moving Average Model;ARMA Model),记为ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q):xt=φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−qs.t.{φp,θq≠0E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s≠t)Cov(xs,εt)=0(s<t)x_t=φ_0+φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_t-θ_1ε_{t-1}-θ_2ε_{t-2}-...-θ_qε_{t-q}\\s.t.\begin{cases}φ_p,θ_q≠0\\E(ε_t)=0,D(ε_t)=σ_ε^2,γ(ε_t,ε_s)=E(ε_tε_s)=0\,(s≠t)\\Cov(x_s,ε_t)=0\,(s<t)\end{cases}xt=φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−qs.t.⎩⎪⎨⎪⎧φp,θq=0E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s=t)Cov(xs,εt)=0(s<t)特别地,当φ0=0φ_0=0φ0=0时,称其为中心化ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型.当序列{xt}\{x_t\}{xt}为非中心化ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列(((即φ0≠0)φ_0≠0)φ0=0)时,则可通过下述变换转化为中心化ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列yt=xt−E(xt)y_t=x_t-E(x_t)yt=xt−E(xt)则称该变换为中心化变换,{yt}\{y_t\}{yt}为{xt}\{x_t\}{xt}的中心化序列.中心化变换对序列值间的关系没有任何影响,因此分析序列值间的关系时只需对相应的中心化ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列进行分析.通过引进延迟算子,可将ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型简记为φ(B)(xt−μ)=θ(B)εt(1)φ(B)(x_t-μ)=θ(B)ε_t\qquad(1)φ(B)(xt−μ)=θ(B)εt(1)其中φ(B)φ(B)φ(B)称为p阶自回归系数多项式,有φ(B)=1−φ1B−φ2B2−...−φpBpφ(B)=1-φ_1B-φ_2B^2-...-φ_pB^pφ(B)=1−φ1B−φ2B2−...−φpBp而θ(B)θ(B)θ(B)则称为q阶移动平均系数多项式,有θ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBqθ(B)=1-θ_1B-θ_2B^2-...--θ_qB^qθ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBq通常还要假设φ(B),θ(B)φ(B),θ(B)φ(B),θ(B)无公共因子

2.ARMAARMAARMA模型与AR/MAAR/MAAR/MA模型的关系:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型是AR(p)AR(p)AR(p)模型与MA(q)MA(q)MA(q)模型的线性组合:当p=0p=0p=0时,ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型退化为MA(q)MA(q)MA(q)模型;当q=0q=0q=0时,ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型退化为AR(p)AR(p)AR(p)模型.并且ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的统计性质也是AR(p)AR(p)AR(p)模型与MA(q)MA(q)MA(q)模型的统计性质的组合

二.ARMAARMAARMA模型的平稳性与可逆性
1.平稳性
(1)判别:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型平稳的条件是φ(B)=0φ(B)=0φ(B)=0的根都在单位圆外,即ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的平稳性只取决于其AR(p)AR(p)AR(p)部分的平稳性

(2)ARMAARMAARMA模型的传递形式:

由(1)(1)(1)式可得ARMAARMAARMA模型的传递形式xt=φ−1(B)θ(B)εt=εt+∑j=1∞Gjεt−j(1)x_t=φ^{-1}(B)θ(B)ε_t\\\qquad\qquad\:\:=ε_t+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty G_jε_{t-j}\qquad(1)xt=φ−1(B)θ(B)εt=εt+j=1∑∞Gjεt−j(1)其中GjG_jGj为GreenGreenGreen函数,有Gj={1(j=0)∑k=1jφk′Gj−k−θj′(j=1,2...)G_j=\begin{cases}1\,(j=0)\\\displaystyle\sum_{k=1}^jφ'_kG_{j-k}-θ'_j\,(j=1,2...)\end{cases}Gj=⎩⎪⎨⎪⎧1(j=0)k=1∑jφk′Gj−k−θj′(j=1,2...)其中φk′={φk(k≤p)0(k>p)φ'_k=\begin{cases}φ_k\,(k≤p)\\0\,(k>p)\end{cases}φk′={φk(k≤p)0(k>p)若随机序列{xt}\{x_t\}{xt}能被表示为(1)(1)(1)的形式,则称{xt}\{x_t\}{xt}为随机线性序列

2.可逆性
(1)判定:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型可逆的条件是θ(B)=0θ(B)=0θ(B)=0的根都在单位圆外,即ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的可逆性只取决于其MA(q)MA(q)MA(q)部分的可逆性(参见数据分析.时间序列分析.AR模型.附录部分)

(2)ARMAARMAARMA模型的逆转形式:

由(1)(1)(1)式可得ARMAARMAARMA模型的逆转形式εt=θ−1(B)φ(B)xt=xt+∑j=1∞Ijxt−jε_t=θ^{-1}(B)φ(B)x_t\\\quad\,=x_t+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty I_jx_{t-j}εt=θ−1(B)φ(B)xt=xt+j=1∑∞Ijxt−j其中IjI_jIj称为ARMAARMAARMA模型的逆函数,有{I0=1Ij=∑k=1jθk′Ij−k−φj′(j>0)\begin{cases}I_0=1\\I_j=\displaystyle\sum_{k=1}^jθ'_kI_{j-k}-φ'_j\,(j>0)\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧I0=1Ij=k=1∑jθk′Ij−k−φj′(j>0)其中θk′={θk(k≤q)0(k>q)θ'_k=\begin{cases}θ_k\,(k≤q)\\0\:\:\:(k>q)\end{cases}θk′={θk(k≤q)0(k>q)

三.统计性质
1.均值:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的均值为E(xt)=φ01−φ1−φ2−...−φpE(x_t)=\frac{φ_0}{1-φ_1-φ_2-...-φ_p}E(xt)=1−φ1−φ2−...−φpφ0

2.方差与协方差:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的协方差为γ(k)=σε2∑i=0∞GiGi+kγ(k)=σ_ε^2\displaystyle\sum_{i=0}^\infty G_iG_{i+k}γ(k)=σε2i=0∑∞GiGi+k

3.自相关系数:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的自相关系数为ρ(k)=γ(k)γ(0)=∑i=0∞GiGi+k∑j=0∞Gj2ρ(k)=\frac{γ(k)}{γ(0)}=\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^\infty G_iG_{i+k}}{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty G_j^2}ρ(k)=γ(0)γ(k)=j=0∑∞Gj2i=0∑∞GiGi+k又ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型可转换为MA(∞)MA(\infty)MA(∞)模型,从而易知ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的自相关系数具有拖尾性

4.偏自相关系数:

ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型可转换为AR(∞)AR(\infty)AR(∞)模型,从而易知ARMA(p,q)ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的偏自相关系数具有拖尾性

四.使用

如果自相关系数和偏自相关系数均拖尾,则使用ARMA模型

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