数据分析时间序列分析 AR模型

一.概念

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型(Auto Regression Model of order p;AR Model of order p),记为AR(p)AR(p)AR(p):xt=φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εts.t.{φp≠0①E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s≠t)②Cov(xs,εt)=0(∀s<t)③x_t=φ_0+φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_t\\\qquad\qquad\qquad\quad s.t.\begin{cases}φ_p≠0\,①\\E(ε_t)=0,D(ε_t)=σ_ε^2,γ(ε_t,ε_s)=E(ε_tε_s)=0\,(s≠t)\,②\\Cov(x_s,ε_t)=0\,(∀s<t)\,③\end{cases}xt=φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εts.t.⎩⎪⎨⎪⎧φp=0①E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s=t)②Cov(xs,εt)=0(∀s<t)③其中条件①①①保证模型的阶数为ppp;条件②②②说明随机干扰序列{εt}\{ε_t\}{εt}为具有0均值的白噪声序列;条件③③③说明当期的随机干扰与过去的序列值无关.特别地,当φ0=0φ_0=0φ0=0时,称其为中心化AR(p)AR(p)AR(p)模型.当序列{xt}\{x_t\}{xt}为非中心化AR(p)AR(p)AR(p)序列(((即φ0≠0)φ_0≠0)φ0=0)时,则可通过下述变换转化为中心化AR(p)AR(p)AR(p)序列yt=xt−μμ=φ01−φ1−...−φpy_t=x_t-μ\\μ=\frac{φ_0}{1-φ_1-...-φ_p}yt=xt−μμ=1−φ1−...−φpφ0则称该变换为中心化变换,{yt}\{y_t\}{yt}为{xt}\{x_t\}{xt}的中心化序列.中心化变换对序列值间的关系没有任何影响,因此分析序列值间的关系时只需对相应的中心化AR(p)AR(p)AR(p)序列进行分析.通过引进延迟算子,可将中心化AR(p)AR(p)AR(p)模型简记为φ(B)xt=εtφ(B)x_t=ε_tφ(B)xt=εt其中φ(B)φ(B)φ(B)称为自回归系数多项式,有φ(B)=1−φ1B−φ2B2−...−φpBpφ(B)=1-φ_1B-φ_2B^2-...-φ_pB^pφ(B)=1−φ1B−φ2B2−...−φpBp

二.ARARAR模型的平稳性

AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一,但并非所有AR模型都是平稳的

1.图示判别法:

从模型生成1个时间序列,模型与序列的平稳性应相同.再绘制出该序列的时序图,从而将对模型平稳性的检验转换为对时间序列平稳性的时序图检验.这种
方法比较直观,但也比较粗糙

2.特征根判别法:

ppp阶ARARAR模型为xt=φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εtx_t=φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_txt=φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt可转换为xt−φ1xt−1−φ2xt−2−...−φpxt−p=εtx_t-φ_1x_{t-1}-φ_2x_{t-2}-...-φ_px_{t-p}=ε_txt−φ1xt−1−φ2xt−2−...−φpxt−p=εt则对应的特征方程为λp−φ1λp−1−φ2λp−2−...−φp=0λ^p-φ_1λ^{p-1}-φ_2λ^{p-2}-...-φ_p=0λp−φ1λp−1−φ2λp−2−...−φp=0由于特征方程为ppp次多项式,故该方程在复数域内必有ppp个特征根,记为λi(i=1,2...p)λ_i\,(i=1,2...p)λi(i=1,2...p).ppp阶ARARAR模型平稳的充要条件是其ppp个特征根都落在单位圆内.由于特征根与自回归系数多项式的根互为倒数,该条件等价于自回归系数多项式的根都落在单位圆外

3.平稳域判别法:

记AR(p)AR(p)AR(p)模型的参数向量为φ=(φ1,φ2...φp)′φ=(φ_1,φ_2...φ_p)'φ=(φ1,φ2...φp)′.将使特征根都落在单位圆内的参数向量构成的集合称为AR(p)AR(p)AR(p)模型的平稳域.从而判断模型是否平稳就相当于判断模型的参数向量是否落在平稳域内

以AR(1)AR(1)AR(1)模型为例:模型为xt=φ1xt−1+εtx_t=φ_1x_{t-1}+ε_txt=φ1xt−1+εt相应的特征方程为λ−φ1=0λ-φ_1=0λ−φ1=0从而特征根为λ1=φ1λ_1=φ_1λ1=φ1.根据特征根判别法,AR(1)AR(1)AR(1)模型平稳的充要条件是:∣λ1∣<1|λ_1|<1∣λ1∣<1从而AR(1)AR(1)AR(1)模型的平稳域为{φ1∣−1<φ1<1}\{φ_1\,|\,-1<φ_1<1\}{φ1∣−1<φ1<1}

再以AR(2)AR(2)AR(2)模型为例:模型为xt=φ1xt−1+φ2xt−2+εtx_t=φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+ε_txt=φ1xt−1+φ2xt−2+εt相应的特征方程为λ2−φ1λ−φ2=0λ^2-φ_1λ-φ_2=0λ2−φ1λ−φ2=0从而特征根为λ1=φ1+φ12+4φ22,λ2=φ1−φ12+4φ22λ_1=\frac{φ_1+\sqrt{φ_1^2+4φ_2}}{2},λ_2=\frac{φ_1-\sqrt{φ_1^2+4φ_2}}{2}λ1=2φ1+φ12+4φ2,λ2=2φ1−φ12+4φ2.根据特征根判别法,AR(2)AR(2)AR(2)模型平稳的充要条件是:∣λ1∣<1,∣λ2∣<1|λ_1|<1,|λ_2|<1∣λ1∣<1,∣λ2∣<1再根据{λ1+λ2=−ba=φ1λ1λ2=ca=−φ2\begin{cases}λ_1+λ_2=-\frac{b}{a}=φ_1\\λ_1λ_2=\frac{c}{a}=-φ_2\end{cases}{λ1+λ2=−ab=φ1λ1λ2=ac=−φ2推出AR(2)AR(2)AR(2)模型的平稳域为{(φ1,φ2)∣∣φ2∣<1,φ1±φ2<1}\{(φ_1,φ_2)\,|\,|φ_2|<1,φ_1\pmφ_2<1\}{(φ1,φ2)∣∣φ2∣<1,φ1±φ2<1}

三.平稳ARARAR模型的统计性质
1.均值:

如果AR(p)AR(p)AR(p)模型满足平稳性条件,则E(xt)=E(φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt)E(x_t)=E(φ_0+φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_t)E(xt)=E(φ0+φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt)由于{xt}\{x_t\}{xt}为平稳序列,{εt}\{ε_t\}{εt}为具有0均值的白噪声序列,故E(xt)=μE(εt)=0E(x_t)=μ\\E(ε_t)=0E(xt)=μE(εt)=0从而有μ=φ01−φ1−φ2−...−φpμ=\frac{φ_0}{1-φ_1-φ_2-...-φ_p}μ=1−φ1−φ2−...−φpφ0特别地,中心化AR(p)AR(p)AR(p)模型的均值为000

2.方差
(1)推导:

通过引进延迟算子,有xt=εtφ(B)x_t=\frac{ε_t}{φ(B)}xt=φ(B)εt由于模型平稳,故自回归系数多项式φ(B)=0φ(B)=0φ(B)=0的根均落在单位圆外,记为Bi(i=1,2...p)B_i\,(i=1,2...p)Bi(i=1,2...p).又由于特征根与自回归系数多项式的根互为倒数,即λi=1Bi(i=1,2...p)λ_i=\frac{1}{B_i}\,(i=1,2...p)λi=Bi1(i=1,2...p),故由多项式惟一因式分解定理有φ(B)=∏i=1p(1−λiB)φ(B)=\displaystyle\prod_{i=1}^p(1-λ_iB)φ(B)=i=1∏p(1−λiB)又由于∏i=1p1(1−λiB)\displaystyle\prod_{i=1}^p\frac{1}{(1-λ_iB)}i=1∏p(1−λiB)1可表示为∏i=1p1(1−λiB)=∑i=1pki1−λiB\displaystyle\prod_{i=1}^p\frac{1}{(1-λ_iB)}=\displaystyle\sum_{i=1}^p\frac{k_i}{1-λ_iB}i=1∏p(1−λiB)1=i=1∑p1−λiBki其中ki∈R(i=1,2...p)k_i∈R\,(i=1,2...p)ki∈R(i=1,2...p),故有xt=∑i=1pkiεt1−λiBx_t=\displaystyle\sum_{i=1}^p\frac{k_iε_t}{1-λ_iB}xt=i=1∑p1−λiBkiεt再根据泰勒展开得到11−x=∑i=0∞xi(∣x∣<1)\frac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty x^i\,(|x|<1)1−x1=i=0∑∞xi(∣x∣<1),即11−λiB=∑j=0∞(λiB)j\frac{1}{1-λ_iB}=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty(λ_iB)^j1−λiB1=j=0∑∞(λiB)j从而有xt=∑i=1p∑j=0∞ki(λiB)jεt=∑j=0∞∑i=1pkiλijεt−j=∑j=0∞Gjεt−j(1)x_t=\displaystyle\sum_{i=1}^p\displaystyle\sum_{j=0}^\infty k_i(λ_iB)^jε_t\\\,=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\displaystyle\sum_{i=1}^pk_iλ_i^jε_{t-j}\\\:\:\:\,=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty G_jε_{t-j}\qquad(1)xt=i=1∑pj=0∑∞ki(λiB)jεt=j=0∑∞i=1∑pkiλijεt−j=j=0∑∞Gjεt−j(1)将(1)(1)(1)式称为AR(p)AR(p)AR(p)模型的传递形式,其中GjG_jGj为GreenGreenGreen函数(参见附录部分).两边同时取方差得到r(0)=D(xt)=∑j=0∞Gj2σε2r(0)=D(x_t)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty G_j^2σ_ε^2r(0)=D(xt)=j=0∑∞Gj2σε2

(2)性质:

由于λi(i=1,2...p)λ_i\,(i=1,2...p)λi(i=1,2...p)均落在单位圆内,故Gj=∑i=1pkiλijG_j=\displaystyle\sum_{i=1}^pk_iλ_i^jGj=i=1∑pkiλij均呈指数衰减的形式,从而有∑j=0∞Gj2<∞\displaystyle\sum_{j=0}^\infty G_j^2<\inftyj=0∑∞Gj2<∞这说明平稳序列的方差有界

3.协方差:

对平稳的中心化AR(p)AR(p)AR(p)模型来说,由于xt=φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εtx_t=φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_txt=φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt故有Cov(xt,xt−k)=Cov(xt−k,φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt)=∑i=1pφiCov(xt−i,xt−k)+Cov(εt,xt−k)(k>0)\,Cov(x_t,x_{t-k})=Cov(x_{t-k},φ_1x_{t-1}+φ_2x_{t-2}+...+φ_px_{t-p}+ε_t)\\\qquad\qquad\quad\:\,=\displaystyle\sum_{i=1}^pφ_iCov(x_{t-i},x_{t-k})+Cov(ε_t,x_{t-k})\,(k>0)Cov(xt,xt−k)=Cov(xt−k,φ1xt−1+φ2xt−2+...+φpxt−p+εt)=i=1∑pφiCov(xt−i,xt−k)+Cov(εt,xt−k)(k>0)由于Cov(εt,xt−k)=0(k>0)Cov(ε_t,x_{t-k})=0\,(k>0)Cov(εt,xt−k)=0(k>0),故有r(k)=∑i=1pφir(k−i)r(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^pφ_ir(k-i)r(k)=i=1∑pφir(k−i)特别地,AR(1)AR(1)AR(1)模型的协方差为r(k)=φ1kr(0)=φ1kσε21−φ12r(k)=φ_1^kr(0)=\frac{φ_1^kσ_ε^2}{1-φ_1^2}r(k)=φ1kr(0)=1−φ12φ1kσε2相应地,AR(2)AR(2)AR(2)模型的协方差为r(k)={φ1r(0)1−φ2(k=1)φ1r(k−1)+φ2r(k−2)(k≥2)r(k)=\begin{cases}\frac{φ_1r(0)}{1-φ_2}\,(k=1)\\φ_1r(k-1)+φ_2r(k-2)\,(k≥2)\end{cases}r(k)={1−φ2φ1r(0)(k=1)φ1r(k−1)+φ2r(k−2)(k≥2)

4.自相关系数
(1)推导:

由于ρ(k)=r(k)r(0),r(k)=∑i=1pφir(k−i)ρ(k)=\frac{r(k)}{r(0)},r(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^pφ_ir(k-i)ρ(k)=r(0)r(k),r(k)=i=1∑pφir(k−i),故有ρ(k)=∑i=1pφiρ(k−i)ρ(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^pφ_iρ(k-i)ρ(k)=i=1∑pφiρ(k−i)这是1个齐次线性差分方程,可解出ρ(k)=∑i=1pciλik(∑j=1pcj2≠0)ρ(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^pc_iλ_i^k\,(\displaystyle\sum_{j=1}^pc_j^2≠0)ρ(k)=i=1∑pciλik(j=1∑pcj2=0)特别地,AR(1)AR(1)AR(1)模型的自相关系数为ρ(k)=φ1k(k≥0)ρ(k)=φ_1^k\,(k≥0)ρ(k)=φ1k(k≥0)相应地,AR(2)AR(2)AR(2)模型的自相关系数为ρ(k)={1(k=0)φ11−φ2(k=1)φ1ρ(k−1)+φ2ρ(k−2)(k≥2)ρ(k)=\begin{cases}1\,(k=0)\\\frac{φ_1}{1-φ_2}\,(k=1)\\φ_1ρ(k-1)+φ_2ρ(k-2)\,(k≥2)\end{cases}ρ(k)=⎩⎪⎨⎪⎧1(k=0)1−φ2φ1(k=1)φ1ρ(k−1)+φ2ρ(k−2)(k≥2)

(2)性质:

ARARAR模型的自相关系数具有一些特殊的性质,包括:
①拖尾性:满足∑j=1pcj2≠0\displaystyle\sum_{j=1}^pc_j^2≠0j=1∑pcj2=0即ρ(k)ρ(k)ρ(k)总是满足ρ(k)>0ρ(k)>0ρ(k)>0不会在kkk大于某个常数后恒等于0,否则这是1个白噪声序列
②按指数衰减:当k→0k→0k→0时,ρ(k)ρ(k)ρ(k)按指数速率迅速趋于0,即平稳序列的短期相关性

5.偏自相关系数
(1)推导:

对于平稳AR(p)AR(p)AR(p)序列,延迟kkk阶偏自相关系数是指在给定中间k−1k-1k−1个随机变量xt−1,xt−2...xt−k+1x_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k+1}xt−1,xt−2...xt−k+1的条件下,即在剔除了中间k−1k-1k−1个随机变量的干扰后,Xt−kX_{t-k}Xt−k对XtX_tXt的影响的度量.也就是ρxt,xt−k∣xt−1...xt−k+1=Cov^(xt,xt−k)D^(xt−k)ρ_{x_t,x_{t-k}\,|\,x_{t-1}...x_{t-k+1}}=\frac{\hat{Cov}(x_t,x_{t-k})}{\hat{D}(x_{t-k})}ρxt,xt−k∣xt−1...xt−k+1=D^(xt−k)Cov^(xt,xt−k)其中E^(xt)=E(xt∣xt−1,xt−2...xt−k+1),E^(xt−k)=E(xt−k∣xt−1,xt−2...xt−k+1),Cov^(xt,xt−k)=E{[xt−E^(xt)][xt−k−E^(xt−k)]},D^(xt−k)=E{[xt−k−E^(xt−k)]2}\hat{E}(x_t)=E(x_t\,|\,x_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k+1}),\hat{E}(x_{t-k})=E(x_{t-k}\,|\,x_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k+1}),\hat{Cov}(x_t,x_{t-k})=E\{[x_t-\hat{E}(x_t)][x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]\},\hat{D}(x_{t-k})=E\{[x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]^2\}E^(xt)=E(xt∣xt−1,xt−2...xt−k+1),E^(xt−k)=E(xt−k∣xt−1,xt−2...xt−k+1),Cov^(xt,xt−k)=E{[xt−E^(xt)][xt−k−E^(xt−k)]},D^(xt−k)=E{[xt−k−E^(xt−k)]2}

(2)求解:

为求解偏自相关系数,使用xt−1,xt−2...xt−kx_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k}xt−1,xt−2...xt−k对xtx_txt进行kkk阶自回归拟合,即xt=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φkkxt−k+εt(2)x_t=φ_{k1}x_{t-1}+φ_{k2}x_{t-2}+...+φ_{kk}x_{t-k}+ε_t\qquad(2)xt=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φkkxt−k+εt(2)其中E(εt)=E(εtxs)=0(s<t)E(ε_t)=E(ε_tx_s)=0\,(s<t)E(εt)=E(εtxs)=0(s<t).在上式两边对xt−1,xt−2...xt−k+1x_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k+1}xt−1,xt−2...xt−k+1取条件(即指定这些变量的值),再取期望得到E^(xt)=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φk(k−1)xt−k+1+φkkE^(xt−k)+E(εt∣xt−1,xt−2...xt−k+1)=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φk(k−1)xt−k+1+φkkE^(xt−k)\hat{E}(x_t)=φ_{k1}x_{t-1}+φ_{k2}x_{t-2}+...+φ_{k(k-1)}x_{t-k+1}+φ_{kk}\hat{E}(x_{t-k})+E(ε_t\,|\,x_{t-1},x_{t-2}...x_{t-k+1})\\=φ_{k1}x_{t-1}+φ_{k2}x_{t-2}+...+φ_{k(k-1)}x_{t-k+1}+φ_{kk}\hat{E}(x_{t-k})\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\:\:E^(xt)=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φk(k−1)xt−k+1+φkkE^(xt−k)+E(εt∣xt−1,xt−2...xt−k+1)=φk1xt−1+φk2xt−2+...+φk(k−1)xt−k+1+φkkE^(xt−k)再结合(2)(2)(2)式,得到xt−E^(xt)=φkk[xt−k−E^(xt−k)]+εtx_t-\hat{E}(x_t)=φ_{kk}[x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]+ε_txt−E^(xt)=φkk[xt−k−E^(xt−k)]+εt在上式两边同乘xt−k−E^(xt−k)x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})xt−k−E^(xt−k),再取期望得到E{[xt−E^(xt)][xt−k−E^(xt−k)]}=φkkE{[xt−k−E^(xt−k)]2}+E{εt[xt−k−E^(xt−k)]}=φkkE{[xt−k−E^(xt−k)]2}E\{[x_t-\hat{E}(x_t)][x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]\}=φ_{kk}E\{[x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]^2\}+E\{ε_t[x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]\}\\\qquad\quad\:=φ_{kk}E\{[x_{t-k}-\hat{E}(x_{t-k})]^2\}E{[xt−E^(xt)][xt−k−E^(xt−k)]}=φkkE{[xt−k−E^(xt−k)]2}+E{εt[xt−k−E^(xt−k)]}=φkkE{[xt−k−E^(xt−k)]2}也就是说φkk=Cov^(xt,xt−k)D^(xt−k)=ρxt,xt−k∣xt−1...xt−k+1φ_{kk}=\frac{\hat{Cov}(x_t,x_{t-k})}{\hat{D}(x_{t-k})}=ρ_{x_t,x_{t-k}\,|\,x_{t-1}...x_{t-k+1}}φkk=D^(xt−k)Cov^(xt,xt−k)=ρxt,xt−k∣xt−1...xt−k+1这就证明了延迟kkk阶偏自相关系数等于kkk阶自回归模型的第kkk个回归系数.因此,为解出偏自相关系数,可在(2)(2)(2)式两边同乘xt−l(l≥1)x_{t-l}\,(l≥1)xt−l(l≥1),再取期望得到r(l)=φk1r(l−1)+φk2r(l−2)+...+φkkr(l−k)r(l)=φ_{k1}r(l-1)+φ_{k2}r(l-2)+...+φ_{kk}r(l-k)r(l)=φk1r(l−1)+φk2r(l−2)+...+φkkr(l−k)这就相当于ρ(l)=φk1ρ(l−1)+φk2ρ(l−2)+...+φkkρ(l−k)ρ(l)=φ_{k1}ρ(l-1)+φ_{k2}ρ(l-2)+...+φ_{kk}ρ(l-k)ρ(l)=φk1ρ(l−1)+φk2ρ(l−2)+...+φkkρ(l−k)取l=1,2...kl=1,2...kl=1,2...k并写成矩阵形式,得到[ρ(0)ρ(1)...ρ(k−1)ρ(1)ρ(0)...ρ(k−2)............ρ(k−1)ρ(k−2)...ρ(0)]⋅[φk1φk2...φkk]=[ρ(1)ρ(2)...ρ(k)](3)\left[\begin{matrix}ρ(0)&ρ(1)&...&ρ(k-1)\\ρ(1)&ρ(0)&...&ρ(k-2)\\...&...&...&...\\ρ(k-1)&ρ(k-2)&...&ρ(0)\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}φ_{k1}\\φ_{k2}\\...\\φ_{kk}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}ρ(1)\\ρ(2)\\...\\ρ(k)\end{matrix}\right]\qquad(3)⎣⎢⎢⎡ρ(0)ρ(1)...ρ(k−1)ρ(1)ρ(0)...ρ(k−2)............ρ(k−1)ρ(k−2)...ρ(0)⎦⎥⎥⎤⋅⎣⎢⎢⎡φk1φk2...φkk⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡ρ(1)ρ(2)...ρ(k)⎦⎥⎥⎤(3)上式称为尤尔—沃克方程组(Yule-Walker equations).这样通过求解线性方程组即可解出偏自相关系数

(3)性质:

AR(p)AR(p)AR(p)模型的偏自相关系数具有截尾性,即φkk=0(k>p)φ_{kk}=0\,(k>p)φkk=0(k>p)

四.使用

如果自相关系数拖尾且偏自相关系数截尾,则使用AR模型;如果偏自相关系数p阶截尾(即延迟期数超过p后均为0),则模型阶数为p

附录.GreenGreenGreen函数

首先定义Green函数GiG_iGi为Gj={1(j=0)∑i=1pkiλij(j=1,2...)G_j=\begin{cases}1\,(j=0)\\\displaystyle\sum_{i=1}^pk_iλ_i^j\,(j=1,2...)\end{cases}Gj=⎩⎪⎨⎪⎧1(j=0)i=1∑pkiλij(j=1,2...)并有递推公式Gj={1(j=0)∑k=1jφk′Gj−k(j=1,2...)G_j=\begin{cases}1\,(j=0)\\\displaystyle\sum_{k=1}^jφ'_kG_{j-k}\,(j=1,2...)\end{cases}Gj=⎩⎪⎨⎪⎧1(j=0)k=1∑jφk′Gj−k(j=1,2...)其中φk′={φk(k≤p)0(k>p)φ'_k=\begin{cases}φ_k\,(k≤p)\\0\,(k>p)\end{cases}φk′={φk(k≤p)0(k>p)

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提示:文章写完后,目录可以自动生成,如何生成可参考右边的帮助文档时间序列分析-ARIMA模型概述一.时间序列平稳性 1.严平稳 2.弱平稳二.建模步骤 1.平稳性检验 2.人工p 和 q 阶数 ...
【Python数据分析】时间序列分析——AR/MA/ARMA/ARIMA
目录一.时间序列的平稳性与差分法 1.时间序列的平稳性: 2.平稳性检验 3.纯随机性检验 4.差分法二.平稳时间序列模型 1.AR模型 2.MR模型 3.ARMA模型 4.平稳时间序列建模步骤 ...
python arima模型_时间序列分析 ARIMA模型 Python（2）
最近做了一个时间序列分析的项目.时间序列分析不同于以前的项目--看一下相关的库怎么用,就可以快速上线应用.它是非常需要你的基础知识的,Hamilton关于<时间序列分析>方面的知识,写了厚 ...
数学建模--时间序列分析、模型预测
学习自:b站清风数学建模第1部分_时间序列分析的概念与时间序列分解模型时间序列时间序列的基本概念区分时期和时点序列时期序列适用于灰色预测模型时间序列分解时间要小于1年,才能进行时间序列 ...

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