数据分析时间序列分析 MA模型

一.概念

具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型(Moving Average Model of order q;MA Model of order q),记为MA(q)MA(q)MA(q):xt=μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−qs.t.{θq≠0①E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s≠t)②x_t=μ+ε_t-θ_1ε_{t-1}-θ_2ε_{t-2}-...-θ_qε_{t-q}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\: s.t.\begin{cases}θ_q≠0\,①\\E(ε_t)=0,D(ε_t)=σ_ε^2,γ(ε_t,ε_s)=E(ε_tε_s)=0\,(s≠t)\,②\end{cases}xt=μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−qs.t.{θq=0①E(εt)=0,D(εt)=σε2,γ(εt,εs)=E(εtεs)=0(s=t)②其中条件①①①保证模型的阶数为qqq;条件②②②说明随机干扰序列{εt}\{ε_t\}{εt}为具有0均值的白噪声序列.特别地,当μ=0μ=0μ=0时,称其为中心化MA(q)MA(q)MA(q)模型.当序列{xt}\{x_t\}{xt}为非中心化MA(q)MA(q)MA(q)序列(((即μ≠0)μ≠0)μ=0)时,则可通过下述变换转化为中心化MA(q)MA(q)MA(q)序列yt=xt−μy_t=x_t-μyt=xt−μ则称该变换为中心化变换,{yt}\{y_t\}{yt}为{xt}\{x_t\}{xt}的中心化序列.中心化变换对序列值间的关系没有任何影响,因此分析序列值间的关系时只需对相应的中心化MA(q)MA(q)MA(q)序列进行分析.通过引进延迟算子,可将中心化MA(q)MA(q)MA(q)模型简记为xt=θ(B)εtx_t=θ(B)ε_txt=θ(B)εt其中θ(B)θ(B)θ(B)称为移动平均系数多项式,有θ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBqθ(B)=1-θ_1B-θ_2B^2-...--θ_qB^qθ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBq

二.MAMAMA模型的可逆性
1.可逆MAMAMA模型
(1)概念:

不同的MAMAMA模型可以具有相同的自相关系数,如模型xt=εt−2εt−1x_t=ε_t-2ε_{t-1}xt=εt−2εt−1和模型xt=εt−0.5εt−1x_t=ε_t-0.5ε_{t-1}xt=εt−0.5εt−1的自相关系数均为ρ(k)={1(k=0)25(k=1)0(k>1)ρ(k)=\begin{cases}1\,(k=0)\\\frac{2}{5}\,(k=1)\\0\,(k>1)\end{cases}ρ(k)=⎩⎪⎨⎪⎧1(k=0)52(k=1)0(k>1)为解决该问题,引入可逆MAMAMA模型的概念:若某个MAMAMA模型能表示为收敛的ARARAR模型,即∃φi(i≥0)\existφ_i\,(i\geq0)∃φi(i≥0),使εt=∑i=0∞φixt−iε_t=\displaystyle\sum_{i=0}^\inftyφ_ix_{t-i}εt=i=0∑∞φixt−i则称该模型为可逆MAMAMA模型.可以证明,1个自相关系数唯一对应于1个可逆MAMAMA模型

(2)判定:

MA(q)MA(q)MA(q)模型可逆的条件是MA(q)MA(q)MA(q)模型的移动平滑系数多项式θ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBqθ(B)=1-θ_1B-θ_2B^2-...--θ_qB^qθ(B)=1−θ1B−θ2B2−...−−θqBq的根Bi(i=1,2...q)B_i\,(i=1,2...q)Bi(i=1,2...q)都落在单位圆外.该条件等价于特征方程的根λi(i=1,2...q)λ_i\,(i=1,2...q)λi(i=1,2...q)都落在单位圆内

2.MAMAMA模型的逆转形式:

定义εt=xtθ(B)=∏i=1qxt1−λiB=∑i=1qkixt1−λiB=∑i=1q∑j=0∞ki(λiB)jxt=∑j=0∞∑i=1qkiλijxt−j=∑j=0∞Ijxt−jε_t=\frac{x_t}{θ(B)}\\\qquad\qquad=\displaystyle\prod_{i=1}^q\frac{x_t}{1-λ_iB}\\\qquad\qquad\:=\displaystyle\sum_{i=1}^q\frac{k_ix_t}{1-λ_iB}\\\qquad\qquad\qquad\:\:\:\,=\displaystyle\sum_{i=1}^q\displaystyle\sum_{j=0}^\infty k_i(λ_iB)^jx_t\\\qquad\qquad\quad\:\:\:\,=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\displaystyle\sum_{i=1}^qk_iλ^j_ix_{t-j}\\\qquad\:\:\:\,=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty I_jx_{t-j}εt=θ(B)xt=i=1∏q1−λiBxt=i=1∑q1−λiBkixt=i=1∑qj=0∑∞ki(λiB)jxt=j=0∑∞i=1∑qkiλijxt−j=j=0∑∞Ijxt−j为MAMAMA模型的逆转形式.其中函数{Ij∣j=0,1...}\{I_j\,|\,j=0,1...\}{Ij∣j=0,1...}称为MAMAMA模型的逆函数,有Ij={1(j=0)∑i=1qkiλij(j>0)I_j=\begin{cases}1\qquad\quad\:(j=0)\\\displaystyle\sum_{i=1}^qk_iλ^j_i\,(j>0)\end{cases}Ij=⎩⎪⎨⎪⎧1(j=0)i=1∑qkiλij(j>0)使用待定系数法可以得到IjI_jIj的递推公式为{I0=1Ij=∑k=1jθk′Ij−k(j>0)\begin{cases}I_0=1\\I_j=\displaystyle\sum_{k=1}^jθ'_kI_{j-k}\,(j>0)\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧I0=1Ij=k=1∑jθk′Ij−k(j>0)其中θk′={θk(k≤q)0(k>q)θ'_k=\begin{cases}θ_k\,(k≤q)\\0\:\:\:(k>q)\end{cases}θk′={θk(k≤q)0(k>q)

三.统计性质
1.均值:

对MA(q)MA(q)MA(q)模型,有E(xt)=E(μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−q)=E(μ)+E(εt)−θ1E(εt−1)−θ2E(εt−2)−...−θqE(εt−q)=μE(x_t)=E(μ+ε_t-θ_1ε_{t-1}-θ_2ε_{t-2}-...-θ_qε_{t-q})\\\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,=E(μ)+E(ε_t)-θ_1E(ε_{t-1})-θ_2E(ε_{t-2})-...-θ_qE(ε_{t-q})\\=μ\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\,E(xt)=E(μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−q)=E(μ)+E(εt)−θ1E(εt−1)−θ2E(εt−2)−...−θqE(εt−q)=μ

2.方差:

对MA(q)MA(q)MA(q)模型,有D(xt)=D(μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−q)=D(μ)+D(εt)+θ12D(εt−1)+θ22D(εt−2)+...+θq2D(εt−q)=0+σε2+θ12σε2+θ22σε2...+θq2σε2=(1+θ12+θ22+...+θq2)σε2D(x_t)=D(μ+ε_t-θ_1ε_{t-1}-θ_2ε_{t-2}-...-θ_qε_{t-q})\\\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\,\,=D(μ)+D(ε_t)+θ_1^2D(ε_{t-1})+θ_2^2D(ε_{t-2})+...+θ_q^2D(ε_{t-q})\\=0+σ_ε^2+θ_1^2σ_ε^2+θ_2^2σ_ε^2...+θ_q^2σ_ε^2\:\:\:\:\:\:\:\:\\=(1+θ_1^2+θ_2^2+...+θ_q^2)σ_ε^2\qquad\qquad\:\:D(xt)=D(μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2−...−θqεt−q)=D(μ)+D(εt)+θ12D(εt−1)+θ22D(εt−2)+...+θq2D(εt−q)=0+σε2+θ12σε2+θ22σε2...+θq2σε2=(1+θ12+θ22+...+θq2)σε2

3.协方差:

可证明MA(q)MA(q)MA(q)模型的协方差为γ(k)={D(xt)(k=0)(∑i=1q−kθiθk+i−θk)σε2(1≤k≤q)0(k>q)γ(k)=\begin{cases}D(x_t)\qquad\qquad\quad\:\:\:\,(k=0)\\(\displaystyle\sum_{i=1}^{q-k}θ_iθ_{k+i}-θ_k)σ_ε^2\,(1≤k≤q)\\0\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\:\,(k>q)\end{cases}γ(k)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧D(xt)(k=0)(i=1∑q−kθiθk+i−θk)σε2(1≤k≤q)0(k>q)证明过程在此省略.另外,可以看出MA(q)MA(q)MA(q)模型的协方差具有qqq阶截尾性(((即延迟期数超过qqq后均为0)))

4.自相关系数:

显然,MA(q)MA(q)MA(q)模型的自相关系数为ρ(k)={1(k=0)∑i=1q−kθiθk+i−θk1+θ12+θ22+...+θq2(1≤k≤q)0(k>q)ρ(k)=\begin{cases}1\qquad\qquad\qquad\,(k=0)\\\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{q-k}θ_iθ_{k+i}-θ_k}{1+θ_1^2+θ_2^2+...+θ_q^2}\,(1≤k≤q)\\0\qquad\qquad\qquad\:(k>q)\end{cases}ρ(k)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧1(k=0)1+θ12+θ22+...+θq2i=1∑q−kθiθk+i−θk(1≤k≤q)0(k>q)另外,可以看出MA(q)MA(q)MA(q)模型的自相关系数具有qqq阶截尾性

5.偏自相关系数:

1个可逆MA(q)MA(q)MA(q)模型等价于AR(∞)AR(\infty)AR(∞)模型I(B)xt=εtI(B)x_t=ε_tI(B)xt=εt其中I(B)=∑j=0∞IjBjI(B)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty I_jB^jI(B)=j=0∑∞IjBj.由于AR(p)AR(p)AR(p)模型的偏自相关系数具有ppp阶截尾性,因此可逆MA(q)MA(q)MA(q)模型的偏自相关系数具有∞\infty∞阶截尾性(即具有拖尾性)

四.使用

如果自相关系数截尾且偏自相关系数拖尾,则使用MA模型;如果自相关系数q阶截尾(即延迟期数超过q后均为0),则模型阶数为q

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