【微分方程数值解】常\偏微分方程及其常用数值解法概述

博主在这段时间将不断更新用微分方程数值解的一些理论和算法问题，并以python为工具写一些算法实现。在理论这块课本上已经够详细与专业了，那就写的简单易懂一点吧ƪ(˘⌣˘)ʃ

直通链接:
常微分方程系列：
【微分方程数值解】常微分方程（一）欧拉方法和改进欧拉方法（附python算例，封装类）
偏微分方程系列：
python与有限差分法（二）弦平衡问题（两点边值问题）内容梳理、算法求解与数值分析.
未完待续…

1.微分方程的种类

恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”现实世界的东西一定程度上来说可以用数学上的方程来表示。

但在现实世界中，类似x^2 -x +1 =0这样的方程能对应的现实问题基本没有。大多数问题的数学建模是和所研究对象的变化率有关系的，例如弹性棉坐垫的弹力涉及到对位移的变化率，热的传导涉及到对时间的变化率。这个“变化率”在数学里的定义就是导数，所以就有了一类涉及到导数来描述问题的这类方程，这就是微分方程。理论上来说只要一个物体的状态在变化，它的变化过程都是可以用微分方程描述刻画的。

微分方程（model）是描述未知函数及其导数关系的方程。

如果现在建立了一个方程，它本身的状态是没有任何约束和说明的。但是我们知道，大部分研究都应该要有一个初始值：400米赛跑有起跑点和赛道，不是大家从各个地方乱跑400米就完了；研究导弹轨迹有初始坐标，在地上发射和山上发射是不一样的。。。这就是对研究对象的状态做一个事先的“约束与说明”。

又例如由弦的平衡方程导出的两点边值问题可以由下偏微分方程刻画：

uxx=f,a<x<bu_{xx}=f ,a<x<buxx=f,a<x<b
u(a)=α,u(b)=βu(a)=\alpha,u(b)=\betau(a)=α,u(b)=β

这个方程就给出了u在a处和b处空间的约束。同理，对时间也可以进行约束和说明。

初值问题：约束调节涉及到时间
边值问题：约束条件涉及到边界。根据对边界的约束不同又可以细分为很多种，以后在讲到。

再进一步，若所研究对象同时和多个自变量相关，那么这个对象的变化率自然也有多个，这时候方程涉及到“偏导数”，也就有了偏微分方程：

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。
偏微分方程（PDE）相比常微分方程其自变量存在两个或以上，也就是说方程所要求解的是一个多元函数，刻画的是未知函数及其偏导数的关系。

偏微分方程中二阶最为典型常见，有椭圆形、抛物型、双曲型三种，下给出这三种偏微分方程最简形式：

椭圆型方程
uxx+uyy=f(x,y)u_{xx}+u_{yy}=f(x,y)uxx+uyy=f(x,y)
抛物型方程
ut=auxxu_t=au_{xx}ut=auxx
双曲型方程
utt=a2uxxu_{tt}=a^2u_{xx}utt=a2uxx

注1：二阶微分方程中也存在混合问题，在不同区域为不同的方程类型，这里不做讨论
注2：椭圆方程不含时间变量只含空间变量，而抛物和双曲既含时间变量也含空间变量

2.用数值解的目的

假设前面的一切工作：建模、约束都准备好了，但是对于一个给定的微分方程，只有极少数的情况能直接获得其解析解，也就是说要直接通过数学手段求解这些微分方程是很困难的，所以就有了数值方法这一求解手段，这就是计算数学专业所干的。

我们在用数值方法求解微分方程时，由于计算机不能处理连续的数学方程，所以在用计算机处理问题时，必须先将一个无限的连续问题通过一些特殊的方法离散化，使之成有限形式的线性代数方程组，再将这个线性代数方程组交给计算机求解以达到我们的目的。

常微分方程的数值解法

欧拉法。由此思想衍生出后退欧拉法和改进欧拉法
龙格库塔方法。

偏微分方程的数值解法

有限差分法（FDM，finite difference method）。偏微分方程数值解法中理论、思想都最好理解的方法，本质是用差商刻画偏导数。重点在差分格式的选择。系列会在专栏里更新
有限元法（FEM，finite element method）。理论体系已经基本完善，学习需要一定的理论准备工作。此方法广泛应用在工程领域，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。在国内由冯康前辈开创。待更新
有限体积法：和有限元法有些类似。待更新
谱方法。

3.如何衡量一种数值方法的优良？

衡量一个数值方法得到的解好不好，一是要看它和正确解的逼近程度，差太多了自然不行，这个“差的多”在数学里有一套度量的方法；另外一个要看他的运算时间，要是有方法A能一分钟算对，方法B算一天算对，那B当然要拿出去枪毙了。

对数值方法来说可以用【解的对】和【解的快】两个词来衡量其优劣。

“解的对”是数值解方法的前提，如果得到的解不是收敛于真解的，那数值解得到的结果毫无意义，建立在数值解方法理论不出错的前提才能再讨论算法速度。

收敛性讨论：考虑算法在数学理论上是否正确，能否收敛于真解。这种【是否收敛】以及【收敛的好与坏】一般用范数来估计。
稳定性讨论：在出现一个小的“干扰”的情况下，这个小干扰带来的影响是否会扩大？讨论这个小干扰是必要的，因为类似截断、四舍五入这类方法一定会带来小干扰（也就是误差，因为丢掉了一些东西），这个小干扰本身并不大但是一定会产生，并且如果这个干扰还会扩大的话（例如运算涉及到迭代），他就会对结果产生巨大的影响。稳定性一般在需要迭代的时候要讨论。如果不稳定，那么这个小干扰会随着迭代的过程越来越大。

“解的快”考虑收敛的速度、算法的复杂度。两种方法的结果一样，当然是算的越快的方法越好。

3.1 如何在程序中验证算法的“对”与“快”？主要有以下几种方法。

图像：通过matplotlib绘图看看数值解是否趋于真解。算法理论得到的解是否正确和绘图对比之间是可以相互验证的。
数值表：通过数值解与对应位置真解的差可以刻画收敛速度or收敛阶。同样，算法理论的收敛阶和该数值表是可以相互验证的。
实际算法运行的时长比较

3.2 如何对数值解进行优化？

从数学理论的角度：一般来说提高精度的代价是提高复杂度，可以考虑如何在不损耗太多精度的情况下，降低复杂度（例如非常多次的迭代运算就是复杂度高的体现）。典型例子是后退欧拉法向改进欧拉法的过渡。
从程序的角度：降低代码逻辑层面的运算量

4.将会用到的python库

numpy：科学计算的基础包。提供了高效的数组（array）对象
SciPy：是一个用于数学、科学、工程领域的常用软件包，可以处理插值、积分、优化、图像处理、常微分方程数值解的求解等问题。
pandas：使python成为强大数据分析工具的重要因素之一，提供了精细的索引功能来进行选取数据子集的操作。
Matplotlib：最流行的绘制数据图表的python库
fealpy ：湘潭大学魏华祎老师开发的有限元法开源库。国内的开源有限元程序做的非常少。feon有限元库为python2.7，不知道更新没有。科研且想用python，魏老师的fealpy是最好的选择，工业计算可能还是不合适。

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