ACM入门之【矩阵快速幂】

矩阵快速幂其实是一个用于加速计算的一个算法。

矩阵快速幂和我们普通的数的快速幂是没有啥太大的区别的。不过一个是数，一个是矩阵。
矩阵快速幂的应用： 矩阵加速递推。例如:如果有一道题目让你求斐波那契数列第n项的值，最简单的方法莫过于直接递推了。但是如果n的范围达到了 10¹⁸级别，递推就不行了，稳 TLE。考虑矩阵加速递推。

看一个模板题来了解矩阵快速幂：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
const int mod=1e9+7;
typedef long long int LL;
LL n,m;
struct node{LL a[N][N];}a,ans;
node mul(node a,node b,int p)
{node sum={0};for(int i=1;i<=n;i++)for(int k=1;k<=n;k++)for(int j=1;j<=n;j++)sum.a[i][j]=(sum.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;return sum;
}
node  qsm(node a,LL b,LL p)
{node sum={0};for(int i=1;i<=n;i++) sum.a[i][i]=1;//单元矩阵while(b) {if(b&1) sum=mul(sum,a,mod);b>>=1;a=mul(a,a,mod);}return sum;
}
int main(void)
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a.a[i][j];ans=qsm(a,m,mod);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++) cout<<ans.a[i][j]<<' ';cout<<'\n';}return 0;
}

矩阵快速幂的实际应用。例题：

如果单纯的递推的话一定会T，故考虑矩阵快速幂来优化。
使用矩阵快速幂来优化，最重要的一步便是，构造常系数矩阵。
我们要将递推的运算转化成矩阵来运算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=10000;
struct node{LL a[N][N];}ans,a;
int f[15]={0,1};
node mul1(node a,node b,LL p)
{node c={0};for(int i=1;i<=1;i++)for(int k=1;k<=2;k++)for(int j=1;j<=2;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;return c;
}
node mul2(node a,node b,LL p)
{node c={0};for(int i=1;i<=2;i++)for(int k=1;k<=2;k++)for(int j=1;j<=2;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;return c;
}
node qsm(node a,LL b,LL p)
{node sum={0}; sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1;while(b){if(b&1) sum=mul1(sum,a,p);b>>=1;a=mul2(a,a,p);}return sum;
}
int main(void)
{LL n;while(cin>>n,n!=-1){a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1;a.a[2][1]=1,a.a[2][2]=0;if(n<=2) cout<<f[n]<<'\n';else{ans=qsm(a,n-2,mod);cout<<ans.a[1][1]<<'\n';}}return 0;
}

例题二：

故求斐波那契的第n项和第n+1项求一个乘积即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=1e9+7;
struct node{LL a[N][N];}a,ans;
int f[15]={0,1};
node mul1(node a,node b,LL p)
{node c={0};for(int i=1;i<=1;i++)for(int k=1;k<=2;k++)for(int j=1;j<=2;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;return c;
}
node mul2(node a,node b,LL p)
{node c={0};for(int i=1;i<=2;i++)for(int k=1;k<=2;k++)for(int j=1;j<=2;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%p;return c;
}
node qsm(node a,LL b,LL p)
{node sum={0}; sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1;while(b){if(b&1) sum=mul1(sum,a,p);b>>=1;a=mul2(a,a,p);}return sum;
}
int main(void)
{LL n; cin>>n;a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1;a.a[2][1]=1,a.a[2][2]=0;if(n==1) puts("1");else{ans=qsm(a,n-1,mod);cout<<(ans.a[1][1]*ans.a[1][2])%mod<<'\n';}return 0;
}

例题三：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int N=15;
const int mod=1e9+7;
struct node{LL a[N][N];}ans,a;
int t;
node mul1(node a,node b,LL mod)
{node c={0};for(int i=1;i<=1;i++)for(int k=1;k<=3;k++) for(int j=1;j<=3;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;return c;
}
node mul2(node a,node b,LL mod)
{node c={0};for(int i=1;i<=3;i++)for(int k=1;k<=3;k++) for(int j=1;j<=3;j++)c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;return c;
}
node qsm(node a,LL b,LL p)
{node sum={0};sum.a[1][1]=1,sum.a[1][2]=1,sum.a[1][3]=1;while(b) {if(b&1) sum=mul1(sum,a,mod);b>>=1;a=mul2(a,a,p);}return sum;
}
int main(void)
{cin>>t;while(t--){LL n; cin>>n;if(n<=3) cout<<1<<'\n';else{a.a[1][1]=1,a.a[1][2]=1,a.a[1][3]=0;a.a[2][1]=0,a.a[2][2]=0,a.a[2][3]=1;a.a[3][1]=1,a.a[3][2]=0,a.a[3][3]=0;ans=qsm(a,n-3,mod);cout<<ans.a[1][1]<<'\n';}}return 0;
}

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