裴礼文3.2.34解答

(SchwarzSchwarzSchwarz定理)若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]连续,f(x)f(x)f(x)的广义二阶导数f[2](x)=limh→0+f(x+2h)−2f(x)+f(x−2h)4h2f^{[2]} (x)=\underset{h\to 0^+}{lim}\frac{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{4h^2}f[2](x)=h→0+lim4h2f(x+2h)−2f(x)+f(x−2h)存在且恒为零,证明:f(x)f(x)f(x)是线性函数.
证\textbf{证}证
有一个有趣的事实是如果一个函数既是凹函数也是凸函数,则它是线性函数.我们证明一下这一点:
假设f(x)f(x)f(x)是[a,b][a,b][a,b]上既凸也凹的函数,则∀x∈[a,b]\forall x\in[a,b]∀x∈[a,b],∃t∈[0,1]\exists t\in[0,1]∃t∈[0,1],使得x=ta+(1−t)bx=ta+(1-t)bx=ta+(1−t)b此时有f(x)=tf(a)+(1−t)f(b)=[f(a)−f(b)]t+f(b)=f(a)−f(b)a−b(x−b)+f(b)f(x)=tf(a)+(1-t)f(b) =[f(a)-f(b)]t+f(b)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-b)+f(b) f(x)=tf(a)+(1−t)f(b)=[f(a)−f(b)]t+f(b)=a−bf(a)−f(b)(x−b)+f(b)因此,我们只需要证明f(x)f(x)f(x)既凸也凹就好了.
首先,记F(x)=f(x)+εx2F(x)=f(x)+\varepsilon x^2F(x)=f(x)+εx2,于是F[2](x)=f[2](x)+2ε=2ε>0F^{[2]}(x)=f^{[2]}(x)+2\varepsilon=2\varepsilon>0F[2](x)=f[2](x)+2ε=2ε>0我们证明F(x)F(x)F(x)是凸函数,假设不然.则∃x1<x2<x3\exists x_1<x_2<x_3∃x1<x2<x3,使得下式成立F(x2)−F(x1)x2−x1>F(x3)−F(x2)x3−x2\frac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1}>\frac{F(x_3)-F(x_2)}{x_3-x_2}x2−x1F(x2)−F(x1)>x3−x2F(x3)−F(x2)
令G(x)=F(x1)+F(x3)−F(x2)x3−x2(x−x1)G(x)=F(x_1)+\frac{F(x_3)-F(x_2)}{x_3-x_2}(x-x_1)G(x)=F(x1)+x3−x2F(x3)−F(x2)(x−x1)则对于函数H(x)=G(x)−F(x)H(x)=G(x)-F(x)H(x)=G(x)−F(x)而言,有H(x1)=0H(x2)<0H(x3)=0H(x_1)=0\quad H(x_2)<0\quad H(x_3)=0H(x1)=0H(x2)<0H(x3)=0因此H(x)H(x)H(x)在[x1,x3][x_1,x_3][x1,x3]上最小值在(x1,x3)(x_1,x_3)(x1,x3)某点ccc达到,则有F[2](c)=−H[2](c)=−limh→0+H(c+2h)−2H(c)+H(c−2h)4h2≤0F^{[2]}(c)=-H^{[2]}(c)=-\underset{h\to 0^+}{lim}\frac{H(c+2h)-2H(c)+H(c-2h)}{4h^2}\leq 0F[2](c)=−H[2](c)=−h→0+lim4h2H(c+2h)−2H(c)+H(c−2h)≤0这与F[2](x)>0F^{[2]}(x)>0F[2](x)>0矛盾,故F(x)F(x)F(x)是凸函数,而令ε→0\varepsilon\to0ε→0,即得到f(x)f(x)f(x)也是凸函数.同理,可证f(x)f(x)f(x)是凹函数.

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