三个枪手的博弈(转）

2009-09-05 21:43:54|  分类： 转|举报|字号 订阅

    三个枪手其命中率分别是80%，70%，60%。问谁被射死的概率最大？

果然是百度的面试题目，越想越复杂。到网上一搜，发现有更复杂的想法。在这里，转一篇看了很久，而且写得很好的一篇文章。

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今天，我讲一个有关博弈论的经典故事。

彼此痛恨的甲、乙、丙三个枪手准备决斗。甲枪法最好，十发八中；乙枪法次之，十发六中；丙枪法最差，十发四中。

先提第一个问题：如果三人同时开枪，并且每人只发一枪；第一轮枪战后，谁活下来的机会大一些？

一般人认为甲的枪法好，活下来的可能性大一些。但合乎推理的结论是，枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。

我们来分析一下各个枪手的策略。

枪手甲一定要对枪手乙先开枪。因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更大，甲应该首先干掉乙，这是甲的最佳策略。

同样的道理，枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲。乙一旦将甲干掉，乙和丙进行对决，乙胜算的概率自然大很多。

枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。乙的枪法毕竟比甲差一些，丙先把甲干掉再与乙进行对决，丙的存活概率还是要高一些。

我们计算一下三个枪手在上述情况下的存活几率：

甲：24％（被乙丙合射40％ X 60％ = 24％）

乙：20％（被甲射100％ - 80％ = 20％）

丙：100％（无人射丙）

通过概率分析，我们发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法好于丙的甲和乙的存活几率远低于丙的存活几率。

但是，上面的例子隐含一个假定，那就是甲乙丙三人都清楚地了解对手打枪的命中率。但现实生活中，因为信息不对称，比如枪手甲伪装自己，让枪手乙和丙认为甲的枪法最差，在这种情况下，最终的幸存者一定是甲。所以，无论是历史，还是现实，那些城府很深的奸雄往往能成为最后的胜利者。这样的例子，对你的职场生涯或者官场生涯是否很有启发呢？

我们继续假定，甲乙丙三人互相不了解对手的枪法水平。在这种情况下，甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的机率各为25％，按贝氏(Bayes)定理计算甲的存活率：
　
甲活率：31％（[被乙射：25％ X 40％ = 10％] + [被丙射：25％ X 60％ = 15％] + [被乙丙射：25％ X 40％ X 60％ = 6％]）。

乙活率：23％（[被甲射：25％ X 20％ = 5％] + [被丙射：25％ X 60％ = 15％] + [被甲丙射：25％X20％X60％ = 3％]）。

丙活率：17％（[被甲射：25％ X 20％ = 5％] + [被乙射：25％ X 40％ = 10％] + [被甲乙射：25％ X 20％ X 40％ = 2％]）。

在枪手互相不知道对手命中率的信息的情况下，这时命中率最高的枪手甲存活的几率最大，枪法最差的丙存活的可能性最小。

我们现在回到甲乙丙都知道对手命中率的情形，进行第二轮枪战的分析。

在第一轮枪战后，丙有可能面对甲，也可能面对乙，甚至同时面对甲与乙，除非第一轮中甲乙皆死。尽管第一轮结束后，丙极有可能获胜（即甲乙双亡），但是第二轮开始，丙就一定处于劣势，因为不论甲或乙，他们的命中率都比丙的命中率为高。

这就是枪手丙的悲哀。能力不行的丙玩些花样虽然能在第一轮枪战中暂时获胜。但是，如果甲乙在第一轮枪战中没有双亡的话，在第二轮枪战结束后，丙的存活的几率就一定比甲或乙为低。

第二轮枪战中甲乙丙存活的几率粗算如下：
(1) 假设甲丙对决：甲的存活率为60％，丙的存活率为20％。
(2) 假设乙丙对决：乙的存活率为60％，丙的存活率为40％。

这似乎说明，能力差的人在竞争中耍弄手腕能赢一时，但最终往往不能成事。我们现在用严格的概率方法计算一下两轮枪战后，甲乙丙各自的存活的几率。

(1)    第一轮：

甲射乙，乙射甲，丙射甲。

甲的活率为24％（40％ X 60％），乙的活率为20％(100％ - 80％)，丙的活率为100％（无人射丙）。

(2)    第二轮：

情况1：甲活乙死（24％ X 80％ = 19.2％）
           甲射丙，丙射甲──甲的活率为60％，丙的活率为20％。
情况2：乙活甲死（20％ X 76％ = 15.2％）
           乙射丙，丙射乙──乙的活率为60％，丙的活率为40％。
情况3：甲乙皆活（24％ X 20％ = 4.8％）
           重复第一轮。
情况4：甲乙皆死（76％ X 80％ = 60.8％）
           枪战结束。

甲的活率为12.672％
(19.2％ X 60％) + (4.8％ X 24％) = 12.672％
乙的活率为10.08％
(15.2％ X 60％) + (4.8％ X 20％) = 10.08％

丙的活率为75.52％

(19.2％ X 20％) + (15.2％ X 40％) + (4.8％ X 100％) + (60.8％ X 100％) = 75.52％

通过对两轮枪战的详细概率计算，我们仍然发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法较好的甲和乙的存活几率仍远低于丙的存活几率。

对于这样的例子，有人会发出“英雄创造历史，庸人繁衍子孙”的感叹。

我们现在改变游戏规则，假定甲乙丙不是同时开枪，而是他们轮流开一枪。在这个例子中，我们发现丙的机会好于他的实力，丙不会被第一枪干掉，并且他可能极有机会在下一轮中先开枪。

先假定开枪的顺序是甲、乙、丙，甲一枪将乙干掉后（80％的几率），就轮到丙开枪，丙有40％的几率一枪将甲干掉。即使乙躲过甲的第一枪，轮到乙开枪，乙还是会瞄准枪法最好的甲开枪，即使乙这一枪干掉了甲，下一轮仍然是轮到丙开枪。无论是甲或者乙先开枪，乙都有在下一轮先开枪的优势。

如果是丙先开枪，情况又如何呢？

丙可以向甲先开枪，即使丙打不中甲，甲的最佳策略仍然是向乙开枪。但是，如果丙打中了甲，下一轮可就是乙开枪打丙了。因此，丙的最佳策略是胡乱开一枪，只要丙不打中甲或者乙，在下一轮射击中他就处于有利的形势。

我们通过这个例子，可以理解人们在博弈中能否获胜，不单纯取决于他们的实力，更重要的是取决于博弈方实力对比所形成的关系。

在上面的例子中，乙和丙实际上是一种联盟关系，先把甲干掉，他们的生存几率都上升了。我们现在来判断一下，乙和丙之中，谁更有可能背叛，谁更可能忠诚？

任何一个联盟的成员都会时刻权衡利弊，一旦背叛的好处大于忠诚的好处，联盟就会破裂。在乙和丙的联盟中，乙是最忠诚的。这不是因为乙本身具有更加忠诚的品质，而是利益关系使然。只要甲不死，乙的枪口就一定会瞄准甲。但丙就不是这样了，丙不瞄准甲而胡乱开一枪显然违背了联盟关系，丙这样做的结果，将使乙处于更危险的境地。

合作才能对抗强敌。只有乙丙合作，才能把甲先干掉。如果，乙丙不和，乙或丙单独对甲都不占优，必然被甲先后解决。

先看赤壁之战的例子。

那时，曹操势力最强，孙权次之，刘备最弱。为了抵抗强大的曹操，孙刘两家只有联合起来，取胜的几率才比较大。孙权就相当于前面例子中的乙，是孙刘联盟中最卖力的成员。在赤壁之战中，孙权出力最多，刘备实际上没出多少力。《三国演义》夸大了诸葛亮对赤壁之战的贡献，当时孙刘联军的统帅实际上是周瑜，周瑜在赤壁之战的功劳远大于诸葛亮。

再看蒙古联合南宋灭金的例子。

当时，蒙古军事实力最强，金国次之，南宋武力最弱。本来南宋应该和金国结盟，帮助金国抵御蒙古的入侵才是上策，或者至少保持中立。但是，当时的南宋采取了和蒙古结盟的政策。南宋当局先是糊涂地同意了拖雷借道宋地伐金。1231年，蒙古军队在宋朝的先遣队伍引导下，借道四川等地，北度汉水歼灭了金军有生力量。1233年，南宋军队与蒙古军队合围蔡州，金朝最后一个皇帝在城破后死于乱兵，金至此灭亡。1279年，南宋正式亡于蒙古。

如果南宋当政者有战略眼光，捐弃前嫌，与世仇金结盟对抗最强大的敌人蒙古，宋和金都不至于那么快就先后灭亡了。

竞争中，没有永远的敌人。为了自己的利益，要随时准备同自己以前的对手进行合作以对付更危险的敌人。

争一时也争春秋，近视贪利不如宏观天下。