(数学建模报告生产批量与单位成本的关系

姓名 ：刘丽君

学号 ：1010720234

班级 ：信科10-2

时间 ：2013.6.16

摘要

本题是求某工厂产品的生产批量与单位成本的关系,要用到数学建模中常见的“统计回归模型”。由于客观事物内部关系的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么我们需要收集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。?

对于本题，已为我们提供了数据，并认为生产量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，在超过500时服从另一种线性关系。因此我们通过分阶段讨论并分别用MTALAB数学软件找出一个最为理想的线性回归模型。对此我们使用了MTALAB数学软件的regress命令求解，通过观察散点图来大体估计其服从的线性关系，再套用不同线性关系并从中找到最为理想并且简便的线性关系。我们把生产批量在500以内的记为，对应的单位成本记为，超过500的记为，单位成本记为。依此用MTALAB画出其散点图，随后，我们对模型进行了可行分析，对模型进行了恰当的评价，我们认为该模型在不考虑其他因素影响的条件下可以推广。

问题重述

下表给出了某工厂产品的生产批量和单位成本(元)的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系。

生产批量650340400800300600720480440540750单位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50

二、基本假设

假设1：单位成本只受生产批量的影响，不考虑可能存在的其它因数的影响。

假设2：在整个生产过程中，其单位成本不随时间和生产的方式的改变。

假设3：根据题中已经给出的数据，假定所有数据都真实可靠。

三、符号说明

符号意义回归方程系数回归方程系数回归方程系数单位成本生产批量生产批量小于500的部分生产批量大于500的部分

四、问题分析

记生产批量为，单位成本为。由于从散点图可以明显地发现，在500以内时，对服从一种线性关系，超过500时服从另一种线性关系，此时明显下降。所以考虑从两个方面着手，建立模型：1.分段建立模型：即在500以内时，建立模型(1)。超过500时，建立模型(2)。然后综合模型(1)和(2)建立回归模型。 2.以所有数据为整体，建立模型(3)。再次结合题意，考虑以500为分段点，并引入虚拟变量建立模型(4)。

五、模型的建立与求解

5.1模型的建立

1.分段建立模型：

记生产批量时，单位成本为，生产批量时，单位成本为。为了大致地分析与的关系，首先利用表中表中数据分别作出对和对的散点图。

从图1可以发现对和对成线性关系。所以分别建立线性模型：

模型(1)：

模型(2)：

5.2 模型的求解

1.分段模型求解：

将x1和y1的数据分别输入MATLAB：

得到模型(1)的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,F,p的结果见表1.

参数参数估计值参数置信区间5.5863[4.5743 6.5983]-0.0031[-0.0056 -0.0006] 表格 1

然后，对数据进行残差分析：

图 3 残差分析图1

从结果可以看出，应将第二个点去掉后再进行拟合：

得到模型(1)的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,F, p的结果见表2.

参数参数估计值参数置信区间5.5749[5.0902 ， 6.0596]-0.0032[-0.0044 ， -0.0020] F=40.8967 p=0.0238682表格 2

可见R的平方非常接近1.说明模型较准确。

于是得到模型(1)：

将和的数据分别输入MATLAB：

得到模型(1)的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,F,p的结果见表3.

参数参数估计值参数置信区间7.1158[5.4316 ， 8.8000]10.0072[-0.0096 ， -0.0047] 表格3

于是得到模型(2)：

对数据进行残差分析：

由图可知，数据无异常点。

综合模型(1)和(2)可得：

或

由于数据点本来就很少，模型(2)中去掉一数据点，所以模型不具说服力。

2. 模型(3)：

若直接考虑全组数据，对整个11组数据直接拟合。

绘出散点图

图 5 y对x的散点图

将x和y