并查集 (Union-Find)

问题现象

并查集算法主要是用来解决动态连通性问题

动态连通性（Dynamic Connectivity）

根据《Algorithms4》可知，动态连通性即给定N个对象的集合，可以做以下操作：

Union操作：连接两个对象
Find/connected查询：两个对象是否连接？

其中，连通具有以下性质：

Reflexive： p和p是相连的，又称自反性；
Symmetric：如果p和q是相连的，那么q和p也是相连的，又称对称性；
Transitive：如果p和q相连且q和r相连，那么p和r相连，又称传递性。

问题建模

API

public class UnionFind {int[] parent; // 存储某个对象的父节点，大小为N，初始化为对应的数组下标，代表独立分量，且是树根，也即初始化为parent[i] = i;UnionFind(int N) { // 构造函数}public void union(int p, int q) { // 连通 q, p分量}private int find(int x) { // 获取x的根节点}public boolean connected(int p, int q) { // 判断q, p是否连通}public int count() { // 获取连通分量个数}
}

find方法

    private int find(int x) { // 获取x的根节点while (x != parent[x]) { // 根节点的数组值就是自身的下标，也就是parent[x] = xx = parent[x];}return x;}

union方法

    public void union(int p, int q) { // 连通 q, p分量int rootQ = find(q);int rootP = find(p);if (rootP == rootQ) { // 若根节点相同，则说明两个分量已相连，直接返回return;}parent[rootQ] = rootP; // 将Q的根节点连接到P的根节点上，也可以parent[rootP] = rootQ}

优化

从上述代码可知，union方法是直接将某棵树的根节点连接在另一棵树上，在多次执行此操作后，树可能会很高，甚至退化成链表。而find方法是从某一个节点往上依次遍历到根节点，若树的高度很高，则会导致查找效率低下。

find方法优化

隔代压缩：把路径上的每个节点的父节点指向其祖父节点

    private int find(int x) { // 获取x的根节点while (x != parent[x]) { // 根节点的数组值就是自身的下标，也就是parent[x] = xparent[x] = parent[parent[x]];x = parent[x];}return x;}

彻底压缩:先找到当前结点的根结点，然后把沿途上所有的节点都指向根节点

    private int find(int x) { // 获取x的根节点if (x != parent[x]) { // 根节点的数组值就是自身的下标，也就是parent[x] = xparent[x] = find[parent[x]];}return x;}

union方法优化

增加一个数组，大小为N，初始化为对应的数组下标，也即初始化为size[i] = i，记录每棵树的高度，在查找的时候比较树高，高度小的树合并到高度搞的树上，相等的话两者均可作为根节点，并把高度加一；

    public void union(int p, int q) { // 连通 q, p分量int rootQ = find(q);int rootP = find(p);if (rootP == rootQ) { // 若根节点相同，则说明两个分量已相连，直接返回return;}if (size[rootP] > size[rootQ]) {parent[rootQ] = rootP;size[rootP] += size[rootQ];} else {parent[rootP] = rootQ;size[rootQ] = size[rootP];}count--;}

完整算法

public class UnionFind {int count;int[] parent;int[] size;UnionFind(int N) {this.count = N;this.parent = new int[N];this.size = new int[N];for (int i = 0; i < N; ++i) {parent[i] = i;size[i] = 1;}}public void union(int p, int q) { // 连通 q, p分量int rootQ = find(q);int rootP = find(p);if (rootP == rootQ) {return;}if (size[rootP] > size[rootQ]) {parent[rootQ] = rootP;size[rootP] += size[rootQ];} else {parent[rootP] = rootQ;size[rootQ] = size[rootP];}count--;}private int find(int x) { // 获取x的父节点while (x != parent[x]) {parent[x] = parent[parent[x]];x = parent[x];}return x;}public boolean connected(int p, int q) { // 判断q p是否连通int rootQ = find(q);int rootP = find(p);return rootP == rootQ;}public int count() { // 获取联通分量个数return count;}
}

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