（十一）质量、动量、动量矩与能量守恒
本文主要内容包括:
- 1.质量守恒
- 1.1. 空间描述下质量守恒定律的总体形式与局部形式
- 1.2. 物质描述下质量守恒定律的总体形式与局部形式
- 1.3. 一般质量守恒前提下的守恒律简化形式
- 2. 动量守恒
- 2.1. 空间描述下动量守恒定律的总体形式与局部形式
- 2.2. 物质描述下动量守恒定律的总体形式与局部形式
- 2.3. 动量守恒方程的率形式
- 3. 动量矩守恒
- 4. 能量守恒
- 4.1. 动能定理/功率方程
- 4.2. 当前构型下能量守恒的总体形式与局部形式
- 4.3. 初始构型下能量守恒的总体形式与局部形式
1.质量守恒
1.1. 空间描述下质量守恒定律的总体形式与局部形式
在不考虑化学反应（无源项 Ψ=0\bold\Psi=0Ψ=0），物质交换（无流项 π(N⃗)=0\bold\pi(\vec{N})=0π(N)=0）的情况下，质量守恒可以表示为 (Φ=1\bold\Phi=1Φ=1)：
DDt∫vρdv=∫vDDt(ρdv)=∫v[ρ∙+ρ(▽⋅v⃗)]dv=0\dfrac{D}{Dt}\int_v\rho dv=\int_v\dfrac{D}{Dt}(\rho dv) =\int_v[\overset{\bullet}{\rho}+\rho(\triangledown\cdot \vec{v})]dv=0DtD∫vρdv=∫vDtD(ρdv)=∫v[ρ∙+ρ(▽⋅v)]dv=0
由于上式对任意的 vvv 均成立，则：
ρ∙+ρ(▽⋅v⃗)=0(∗)\overset{\bullet}{\rho}+\rho(\triangledown\cdot \vec{v})=0\quad(*)ρ∙+ρ(▽⋅v)=0(∗)
进一步，
ρ∙+ρ(▽⋅v⃗)=ρ′+(ρ▽)⋅v⃗+ρ(▽⋅v⃗)=ρ′+▽⋅(ρv⃗)=0(∗)\overset{\bullet}{\rho}+\rho(\triangledown\cdot \vec{v}) =\rho'+(\rho\triangledown)\cdot\vec{v}+\rho(\triangledown\cdot \vec{v}) =\rho'+\triangledown\cdot(\rho\vec{v})=0\quad(*)ρ∙+ρ(▽⋅v)=ρ′+(ρ▽)⋅v+ρ(▽⋅v)=ρ′+▽⋅(ρv)=0(∗)
称作 Euler 型连续性方程。
1.2. 物质描述下质量守恒定律的总体形式与局部形式
另外，质量守恒还可以写作
∫vρdv=∫v0ρ0dv0⟹∫v0(ρ0−Jρ)dv0\int_v\rho dv=\int_{v_0}\rho_0 dv_0\Longrightarrow\int_{v_0}(\rho_0-\mathscr{J}\rho) dv_0∫vρdv=∫v0ρ0dv0⟹∫v0(ρ0−Jρ)dv0
写作局部形式为：
ρ0(X⃗,t)=Jρ(x⃗,t)(∗)\rho_0(\vec{X},t)=\mathscr{J}\ \rho(\vec{x},t)\quad(*)ρ0(X,t)=J ρ(x,t)(∗)
称作 Lagrange 型连续性方程。
1.3. 一般质量守恒前提下的守恒律简化形式
由于
DDt∫vρΦdv=∫vDDt(ρdv⋅Φ)=∫v{[ρ∙+ρ(▽⋅v⃗)]Φ+ρΦ∙}dv=∫vρΦ∙dv\begin{aligned} &\dfrac{D}{Dt}\int_v\rho\bold\Phi dv =\int_v\dfrac{D}{Dt}(\rho dv\cdot\bold\Phi) \\\\ &\qquad\qquad\quad\ =\int_v\{[\overset{\bullet}{\rho}\bold+\rho(\triangledown\cdot\vec{v})]\bold\Phi+\rho\overset{\bullet}{\bold\Phi}\} dv\\\\ &\qquad\qquad\quad\ =\int_v\rho\overset{\bullet}{\bold\Phi} dv \end{aligned}DtD∫vρΦdv=∫vDtD(ρdv⋅Φ) =∫v{[ρ∙+ρ(▽⋅v)]Φ+ρΦ∙}dv =∫vρΦ∙dv
故守恒律可进一步简化为：
∫vρΦ∙dv=∫vρΨdv+∫∂vΣ⋅N⃗dS\int_v\rho\overset{\bullet}{\bold\Phi} dv=\int_v\rho\bold\Psi dv+\int_{\partial v}\bold\Sigma\cdot\vec{N}\ dS∫vρΦ∙dv=∫vρΨdv+∫∂vΣ⋅N dS
注意到：Jρ=ρ0\mathscr{J}\rho=\rho_0Jρ=ρ0，则在参考构型下有
∫v0ρ0Φ∙dv0=∫v0ρ0Ψdv0+∫∂v0Σ⋅JF−T⋅0N⃗dS0\int_{v_0}\rho_0\overset{\bullet}{\bold\Phi}dv_0=\int_{v_0}\rho_0\bold\Psi dv_0+\int_{\partial v_0}\bold\Sigma\cdot\mathscr{J} \overset{-T}{\bold{F}}\cdot\vec{_0 N}dS_0∫v0ρ0Φ∙dv0=∫v0ρ0Ψdv0+∫∂v0Σ⋅JF−T⋅0NdS0
2. 动量守恒
2.1. 空间描述下动量守恒定律的总体形式与局部形式
根据动量定理有：
DDt∫vρv⃗dv=∫vρf⃗dv+∫∂vt⃗(N⃗)dS\dfrac{D}{Dt}\int_v\rho\vec{v}dv =\int_v\rho\vec{f}dv+\int_{\partial v}\vec{t}(\vec{N})dSDtD∫vρvdv=∫vρfdv+∫∂vt(N)dS
式中，f⃗(x⃗,t)\vec{f}(\vec{x},t)f(x,t) 表示单位质量上的体力；t⃗(N⃗)\vec{t}(\vec{N})t(N) 表示法向为 N⃗\vec{N}N 的单位面积上的面力。相当于守恒律中的Φ=v⃗\bold\Phi=\vec{v}Φ=v，Ψ=f⃗\bold\Psi=\vec{f}Ψ=f，π(N⃗)=t⃗(N⃗)\pi(\vec{N})=\vec{t}(\vec{N})π(N)=t(N) 的情形。又
∃σ∈T2(V)，s.t.σ⋅N⃗=t⃗(N⃗)\exist\ \sigma\in\mathscr{T}_2({V})，s.t.\ \ \sigma\cdot\vec{N}=\vec{t}(\vec{N})∃ σ∈T2(V)，s.t. σ⋅N=t(N)
上式也被称作 Cauchy (第一) 基本定理，其中 σ\sigmaσ 被称作 Cauthy应力张量/真应力。那么：
DDt∫vρv⃗dv=∫vρf⃗dv+∫∂vσ⋅N⃗dS\dfrac{D}{Dt}\int_v\rho\vec{v}dv =\int_v\rho\vec{f}dv+\int_{\partial v}\sigma\cdot\vec{N}dSDtD∫vρvdv=∫vρfdv+∫∂vσ⋅NdS
在一般质量守恒的前提下有：
∫vρa⃗dv=∫vρf⃗dv+∫∂vσ⋅N⃗dS(∗)\int_v\rho\vec{a}dv =\int_v\rho\vec{f}dv+\int_{\partial v}\sigma\cdot\vec{N}dS\quad(*)∫vρadv=∫vρfdv+∫∂vσ⋅NdS(∗)
利用散度定理：
∫vρa⃗dv=∫v(ρf⃗+σ⋅▽)dv\int_v\rho\vec{a}dv =\int_v(\rho\vec{f}+\sigma\cdot\triangledown )dv∫vρadv=∫v(ρf+σ⋅▽)dv
那么，
σ⋅▽+ρf⃗=ρa⃗(∗)\sigma\cdot\triangledown+\rho\vec{f}=\rho\vec{a}\quad(*)σ⋅▽+ρf=ρa(∗)
称作 Euler型运动方程/Cauchy动量方程。
2.2. 物质描述下动量守恒定律的总体形式与局部形式
Larange 型动量守恒定律可以写作：
∫v0ρ0a⃗dv0=∫v0ρ0f⃗dv0+∫∂v0S⋅0N⃗dS0(∗)\int_{v_0}\rho_0\vec{a}dv_0 =\int_{v_0}\rho_0\vec{f}dv_0+\int_{\partial v_0}\bold S\cdot {_0\vec{N}}dS_0\quad(*)∫v0ρ0adv0=∫v0ρ0fdv0+∫∂v0S⋅0NdS0(∗)
式中，S=Jσ⋅F−T\bold S=\mathscr{J}\sigma\cdot\overset{-T}{\bold F}S=Jσ⋅F−T，称作 第一类 Piola-Kirchhoff 应力，其转置 ST\bold S^TST 称为非对称名义应力，此外还可定义第二类 Piola-Kirchhoff 应力：
T(1)≜F−1⋅S=JF−1⋅σ⋅F−T\bold T^{(1)}\triangleq\overset{-1}{\bold F}\cdot\bold S =\mathscr{J}\overset{-1}{\bold F}\cdot\sigma\cdot\overset{-T}{\bold F}T(1)≜F−1⋅S=JF−1⋅σ⋅F−T
同样的利用散度定理：
∫v0ρ0a⃗dv0=∫v0ρ0f⃗dv0+∫v0S⋅▽0dS0\int_{v_0}\rho_0\vec{a}dv_0 =\int_{v_0}\rho_0\vec{f}dv_0+\int_{ v_0}\bold S\cdot \triangledown_0 dS_0∫v0ρ0adv0=∫v0ρ0fdv0+∫v0S⋅▽0dS0
那么，可得到如下的 Lagrange 型运动方程
S⋅▽0+ρ0f⃗=ρ0a⃗(∗)\bold S\cdot \triangledown_0+\rho_0\vec{f}=\rho_0\vec{a}\quad(*)S⋅▽0+ρ0f=ρ0a(∗)
或
(F⋅T(1))⋅▽0+ρ0f⃗=ρ0a⃗(∗)(\bold{F\cdot T^{(1)}})\cdot \triangledown_0+\rho_0\vec{f}=\rho_0\vec{a}\quad(*)(F⋅T(1))⋅▽0+ρ0f=ρ0a(∗)
式中，▽0\triangledown_0▽0 为物质坐标系中的 Hamilton 算子。
第一类 Piola-Kirchhoff 应力的物理意义可通过下式看出：
t⃗(N⃗)dS=σ⋅N⃗dS=S⋅0N⃗dS0\vec{t}(\vec{N})dS =\sigma\cdot\vec{N}dS =\bold S\cdot{_0\vec{N}}dS_0t(N)dS=σ⋅NdS=S⋅0NdS0
即，第一类 Piola-Kirchhoff 应力将参考构型中的面元与当前构型相应面元上的面力建立起了映射关系。
2.3. 动量守恒方程的率形式
对空间描述下动量守恒定律的总体形式两侧求物质导数，在一般质量守恒的前提下有：
∫vρa⃗∙dv=∫vρf⃗∙dv+∫∂v[σ∙⋅N⃗dS+σ⋅DDt(N⃗dS)]=∫vρf⃗∙dv+∫∂v[σ∙+σ(▽⋅v⃗)−σ⋅LT]⋅N⃗dS≜∫vρf⃗∙dv+∫∂vσ∘⋅N⃗dS(∗)\begin{aligned} &\int_v\rho\overset{\bullet}{\vec{a}}dv =\int_v\rho\overset{\bullet}{\vec{f}}dv+\int_{\partial v}\left[\overset{\bullet}{\sigma}\cdot\vec{N}dS+{\sigma}\cdot\dfrac{D}{Dt}(\vec{N}dS)\right]\\\\ &\qquad\quad\ =\int_v\rho\overset{\bullet}{\vec{f}}dv+\int_{\partial v}\left[\overset{\bullet}{\sigma}+{\sigma}(\triangledown\cdot\vec{v})-\sigma\cdot\bold L^T\right]\cdot\vec{N}dS\\\\ &\qquad\quad\ \triangleq\int_v\rho\overset{\bullet}{\vec{f}}dv+\int_{\partial v}\overset{\circ}{\sigma}\cdot\vec{N}dS \end{aligned}\quad(*)∫vρa∙dv=∫vρf∙dv+∫∂v[σ∙⋅NdS+σ⋅DtD(NdS)] =∫vρf∙dv+∫∂v[σ∙+σ(▽⋅v)−σ⋅LT]⋅NdS ≜∫vρf∙dv+∫∂vσ∘⋅NdS(∗)
利用散度定理有
σ∘⋅▽+ρf⃗∙=ρa⃗∙(∗)\overset{\circ}{\sigma}\cdot\triangledown+\rho\overset{\bullet}{\vec{f}}=\rho\overset{\bullet}{\vec{a}}\quad(*)σ∘⋅▽+ρf∙=ρa∙(∗)
将上述空间描述转化为物质描述时，则有：
∫v0ρ0a⃗∙dv0=∫v0ρ0f⃗∙dv0+∫∂v0S∙⋅0N⃗dS0(∗)\int_{v_0}\rho_0\overset{\bullet}{\vec{a}}dv_0 =\int_{v_0}\rho_0\overset{\bullet}{\vec{f}}dv_0+\int_{\partial v_0}\overset{\bullet}{\bold S}\cdot{_0\vec{N}}dS_0\quad(*)∫v0ρ0a∙dv0=∫v0ρ0f∙dv0+∫∂v0S∙⋅0NdS0(∗)
式中，S∙=Jσ∘⋅F−T\overset{\bullet}{\bold S}=\mathscr{J}\overset{\circ}{\sigma}\cdot\overset{-T}{\bold F}S∙=Jσ∘⋅F−T，转化为局部形式有：
S∙⋅▽0+ρ0f⃗∙=ρ0a⃗∙(∗)\overset{\bullet}{\bold S}\cdot\triangledown_0+\rho_0\overset{\bullet}{\vec{f}}=\rho_0\overset{\bullet}{\vec{a}}\quad(*)S∙⋅▽0+ρ0f∙=ρ0a∙(∗)
3. 动量矩守恒
由动量矩定理：（固定参考点选作空间坐标系的原点 o，也可选取其它固定点，等价性可由动量守恒定律证明）
DDt∫vx⃗×(ρv⃗)dv=∫vx⃗×(ρf⃗)dv+∫∂vx⃗×t⃗(N⃗)dS+∫vρl⃗mdv+∫∂vm⃗c(N⃗)dS\dfrac{D}{Dt}\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{v})dv =\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{f})dv+\int_{\partial v}\vec{x}\times\vec{t}(\vec{N})dS+\int_v\rho\vec{l}_m\ dv+\int_{\partial v}\vec{m}_c(\vec{N})dSDtD∫vx×(ρv)dv=∫vx×(ρf)dv+∫∂vx×t(N)dS+∫vρlm dv+∫∂vmc(N)dS
式中，f⃗(x⃗,t)\vec{f}(\vec{x},t)f(x,t) 表示单位质量上的体力；t⃗(N⃗)\vec{t}(\vec{N})t(N) 表示法向为 N⃗\vec{N}N 的单位面积上的面力；l⃗m(x⃗,t)\vec{l}_m(\vec{x},t)lm(x,t) 表示单位质量上的体力偶；m⃗c(N⃗)\vec{m}_c(\vec{N})mc(N) 表示法向为 N⃗\vec{N}N 的单位面积上的面力偶。相当于守恒律中的Φ=x⃗×v⃗\bold\Phi=\vec{x}\times\vec{v}Φ=x×v，Ψ=x⃗×f⃗+l⃗m\bold\Psi=\vec{x}\times\vec{f}+\vec{l}_mΨ=x×f+lm，π(N⃗)=x⃗×t⃗(N⃗)+m⃗c(N⃗)\pi(\vec{N})=\vec{x}\times\vec{t}(\vec{N})+\vec{m}_c(\vec{N})π(N)=x×t(N)+mc(N) 的情形。又
∃Mc∈T2(V)，s.t.Mc⋅N⃗=m⃗c(N⃗)\exist\ \bold M_c\in\mathscr{T}_2({V})，s.t.\ \ \bold M_c\cdot\vec{N}=\vec{m}_c(\vec{N})∃ Mc∈T2(V)，s.t. Mc⋅N=mc(N)
上式被称作 Cauchy (第二) 基本定理，其中，Mc\bold M_cMc 称作偶应力张量。另外，根据 Cauchy (第一) 基本定理
x⃗×t⃗(N⃗)=x⃗×(σ⋅N⃗)=(x⃗×σ)⋅N⃗\vec{x}\times\vec{t}(\vec{N})=\vec{x}\times(\sigma\cdot\vec{N})=(\vec{x}\times\sigma)\cdot\vec{N}x×t(N)=x×(σ⋅N)=(x×σ)⋅N
那么动量矩守恒可写作：
DDt∫vx⃗×(ρv⃗)dv=∫v[x⃗×(ρf⃗)+ρl⃗m]dv+∫∂v(x⃗×σ+Mc)⋅N⃗dS\dfrac{D}{Dt}\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{v})dv =\int_v[\vec{x}\times(\rho\vec{f})+\rho\vec{l}_m]dv+\int_{\partial v}(\vec{x}\times\sigma+\bold M_c)\cdot\vec{N}\ dSDtD∫vx×(ρv)dv=∫v[x×(ρf)+ρlm]dv+∫∂v(x×σ+Mc)⋅N dS
在一般质量守恒的前提下：
DDt∫vx⃗×(ρv⃗)dv=∫vρDDt(x⃗×v⃗)dv=∫vx⃗×(ρa⃗)dv\dfrac{D}{Dt}\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{v})dv =\int_v\rho\dfrac{D}{Dt}(\vec{x}\times\vec{v})dv =\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{a})dvDtD∫vx×(ρv)dv=∫vρDtD(x×v)dv=∫vx×(ρa)dv
则
∫vx⃗×(ρa⃗)dv=∫v[x⃗×(ρf⃗)+ρl⃗m]dv+∫∂v(x⃗×σ+Mc)⋅N⃗dS(∗)\int_v\vec{x}\times(\rho\vec{a})dv =\int_v[\vec{x}\times(\rho\vec{f})+\rho\vec{l}_m]dv+\int_{\partial v}(\vec{x}\times\sigma+\bold M_c)\cdot\vec{N}\ dS\quad(*)∫vx×(ρa)dv=∫v[x×(ρf)+ρlm]dv+∫∂v(x×σ+Mc)⋅N dS(∗)
同样，通过散度定理可得到局部形式：
x⃗×(ρa⃗)=x⃗×(ρf⃗)+ρl⃗m+(x⃗×σ+Mc)⋅▽\vec{x}\times(\rho\vec{a}) =\vec{x}\times(\rho\vec{f})+\rho\vec{l}_m+(\vec{x}\times\sigma+\bold M_c)\cdot\triangledownx×(ρa)=x×(ρf)+ρlm+(x×σ+Mc)⋅▽
又
(x⃗×σ)⋅▽=∂∂xi(x⃗×σ)⋅g⃗i=∂x⃗∂xi×(σ⋅g⃗i)+x⃗×(∂σ∂xi⋅g⃗i)=g⃗i×(σ⋅g⃗i)+x⃗×(σ⋅▽)=x⃗×(σ⋅▽)−σijϵijkg⃗k=x⃗×(σ⋅▽)−σ:ϵ\begin{aligned} &\quad\ (\vec{x}\times\sigma)\cdot\triangledown =\dfrac{\partial}{\partial x^i}(\vec{x}\times\sigma)\cdot\vec{g}^i \\\ \\ &=\dfrac{\partial \vec{x}}{\partial x^i}\times\left(\sigma\cdot\vec{g}^i\right)+\vec{x}\times\left(\dfrac{\partial \sigma}{\partial x^i}\cdot\vec{g}^i\right) \\\ \\ &=\vec{g}_i\times\left(\sigma\cdot\vec{g}^i\right)+\vec{x}\times(\sigma\cdot\triangledown)\\\\ &=\vec{x}\times(\sigma\cdot\triangledown)-\sigma^{ij}\epsilon_{ijk}\vec{g}^k \\\\ &=\vec{x}\times(\sigma\cdot\triangledown)-\sigma:\epsilon \end{aligned} (x×σ)⋅▽=∂xi∂(x×σ)⋅gi=∂xi∂x×(σ⋅gi)+x×(∂xi∂σ⋅gi)=gi×(σ⋅gi)+x×(σ⋅▽)=x×(σ⋅▽)−σijϵijkgk=x×(σ⋅▽)−σ:ϵ
那么
x⃗×(ρa⃗−ρf⃗−σ⋅▽)=ρl⃗m+Mc⋅▽−σ:ϵ\vec{x}\times(\rho\vec{a}-\rho\vec{f}-\sigma\cdot\triangledown) =\rho\vec{l}_m+\bold M_c\cdot\triangledown-\sigma:\epsilonx×(ρa−ρf−σ⋅▽)=ρlm+Mc⋅▽−σ:ϵ
由动量守恒可知左侧为零，则
ρl⃗m+Mc⋅▽=σ:ϵ(∗)\rho\vec{l}_m+\bold M_c\cdot\triangledown=\sigma:\epsilon\quad(*)ρlm+Mc⋅▽=σ:ϵ(∗)
一般情况下，体力偶、面力偶均不存在，故假设
l⃗m=0，Mc=0\vec{l}_m=0，\bold M_c=0lm=0，Mc=0
那么上式退化为：
σ:ϵ=0\sigma:\epsilon=0σ:ϵ=0
即
σijeijk=0(k=1,2,3)⟹{σ23e231+σ32e321=σ23−σ32=0σ13e132+σ31e312=−σ13+σ31=0σ12e123+σ21e213=σ12−σ21=0⟹σij=σji(i,j=1,2,3)\begin{aligned} &\qquad\ \ \sigma^{ij}e_{ijk}=0\quad(k=1,2,3) \\\ \\ &\Longrightarrow \begin{cases} \sigma^{23}e_{231}+\sigma^{32}e_{321}=\sigma^{23}-\sigma^{32}=0 \\\\ \sigma^{13}e_{132}+\sigma^{31}e_{312}=-\sigma^{13}+\sigma^{31}=0 \\\\ \sigma^{12}e_{123}+\sigma^{21}e_{213}=\sigma^{12}-\sigma^{21}=0 \end{cases} \\\ \\ &\Longrightarrow \sigma^{ij}=\sigma^{ji}\quad(i,j=1,2,3) \end{aligned} σijeijk=0(k=1,2,3)⟹⎩⎨⎧σ23e231+σ32e321=σ23−σ32=0σ13e132+σ31e312=−σ13+σ31=0σ12e123+σ21e213=σ12−σ21=0⟹σij=σji(i,j=1,2,3)
说明 Cauchy 应力 是对称张量，进一步可知 第二类 Piola-Kirchhoff 应力 也是对称张量。
4. 能量守恒
4.1. 动能定理/功率方程
系统的动能为：
K=12∫vρv⃗⋅v⃗dvK=\dfrac{1}{2}\int_v\rho\vec{v}\cdot\vec{v}\ dvK=21∫vρv⋅v dv
则，根据动量守恒有：
K∙=DDt(12∫vρv⃗⋅v⃗dv)=∫v(ρa⃗)⋅v⃗dv=∫v(σ⋅▽+ρf⃗)⋅v⃗dv\begin{aligned} & \overset{\bullet}{K} =\dfrac{D}{Dt}\left(\dfrac{1}{2}\int_v\rho\vec{v}\cdot\vec{v}\ dv\right) =\int_v(\rho\vec{a})\cdot\vec{v}\ dv \\\\ &\quad=\int_v(\sigma\cdot\triangledown+\rho\vec{f})\cdot\vec{v}\ dv \end{aligned}K∙=DtD(21∫vρv⋅v dv)=∫v(ρa)⋅v dv=∫v(σ⋅▽+ρf)⋅v dv
注意到
(v⃗⋅σ)⋅▽=σ:(v⃗⊗▽)+v⃗⋅(σ⋅▽)(\vec{v}\cdot\sigma)\cdot\triangledown =\sigma:(\vec{v}\otimes\triangledown)+\vec{v}\cdot(\sigma\cdot\triangledown)(v⋅σ)⋅▽=σ:(v⊗▽)+v⋅(σ⋅▽)
则，根据散度定理：
K∙=∫vρf⃗⋅v⃗dv+∫v[(v⃗⋅σ)⋅▽−σ:(v⃗⊗▽)]dv=∫vρf⃗⋅v⃗dv+∫∂v(v⃗⋅σ)⋅N⃗dS−∫vσ:Ldv=∫vρf⃗⋅v⃗dv+∫∂vv⃗⋅(σ⋅N⃗)dS−∫vσ:(D+W)dv=∫vρf⃗⋅v⃗dv+∫∂vv⃗⋅t⃗(N⃗)dS−∫vσ:Ddv\begin{aligned} & \overset{\bullet}{K} =\int_v\rho\vec{f}\cdot\vec{v}dv+\int_v[(\vec{v}\cdot\sigma)\cdot\triangledown-\sigma:(\vec{v}\otimes\triangledown)]dv \\\\ &\quad =\int_v\rho\vec{f}\cdot\vec{v}dv+\int_{\partial v}(\vec v\cdot\sigma)\cdot\vec{N}\ dS-\int_v\sigma:\bold L\ dv \\\\ &\quad =\int_v\rho\vec{f}\cdot\vec{v}dv+\int_{\partial v}\vec v\cdot(\sigma\cdot\vec{N})\ dS-\int_v\sigma:\bold{(D+W)}\ dv \\\\ &\quad =\int_v\rho\vec{f}\cdot\vec{v}dv+\int_{\partial v}\vec v\cdot\vec{t}(\vec{N})\ dS-\int_v\sigma:\bold{D}\ dv \end{aligned}K∙=∫vρf⋅vdv+∫v[(v⋅σ)⋅▽−σ:(v⊗▽)]dv=∫vρf⋅vdv+∫∂v(v⋅σ)⋅N dS−∫vσ:L dv=∫vρf⋅vdv+∫∂vv⋅(σ⋅N) dS−∫vσ:(D+W) dv=∫vρf⋅vdv+∫∂vv⋅t(N) dS−∫vσ:D dv
4.2. 当前构型下能量守恒的总体形式与局部形式
能量守恒定律表述为：对于一个热力学体系，其总内能 ε−\overset{-}{\varepsilon}ε− 和总动能 KKK 的时间变化率等于外力对该体系所做的功率 W∙\overset{\bullet}{W}W∙ 以及输入该体系的其它类型能量（热能、化学能…）的时间变化率之和。即
εˉ∙+K∙=W+Q∙\overset{\bullet}{\bar{\varepsilon}}+\overset{\bullet}{K}=W+\overset{\bullet}{\mathscr{Q}}εˉ∙+K∙=W+Q∙
为简单计，上式输入体系的其它类型的能量仅考虑热能 Q\mathscr{Q}Q，热能的来源既包括物体内部的热源提供也可能是通过表面输送给物体，即
Q∙=∫vρhdv−∫∂vq(N⃗)dS=∫vρhdv−∫∂vq⃗⋅N⃗dS\overset{\bullet}{\mathscr{Q}} =\int_v\rho h\ dv-\int_{\partial v}q(\vec{N})\ dS =\int_v\rho h\ dv-\int_{\partial v}\vec q\cdot\vec{N}\ dSQ∙=∫vρh dv−∫∂vq(N) dS=∫vρh dv−∫∂vq⋅N dS
其中，hhh 表示单位时间内单位质量上分布的热源；q(N⃗)q(\vec{N})q(N) 表示单位时间内通过物体单位表面积向外输出的热能，q⃗\vec{q}q 称为热流向量。利用功率方程可将能量守恒改写为：
εˉ∙=∫vσ:Ddv+Q∙\overset{\bullet}{\bar{\varepsilon}}=\int_v\sigma:\bold D\ dv+\overset{\bullet}{\mathscr{Q}}εˉ∙=∫vσ:D dv+Q∙
若定义单位质量上的内能密度为 ε\varepsilonε，则：
εˉ=∫vρεdv\bar{\varepsilon}=\int_v\rho\varepsilon\ dvεˉ=∫vρε dv
在一般质量守恒的前提下有：
εˉ∙=∫vρε∙dv=∫vσ:Ddv+∫vρhdv−∫∂vq⃗⋅N⃗dS\overset{\bullet}{\bar{\varepsilon}} =\int_v\rho\overset{\bullet}{\varepsilon}\ dv =\int_v\sigma:\bold D\ dv+\int_v\rho h\ dv-\int_{\partial v}\vec q\cdot\vec{N}\ dSεˉ∙=∫vρε∙ dv=∫vσ:D dv+∫vρh dv−∫∂vq⋅N dS
由散度定理可得当前构型下的能量守恒的局部形式为：
ρε∙=σ:D+ρh−q⃗⋅▽\rho\overset{\bullet}{\varepsilon}=\sigma:\bold D+\rho h-\vec{q}\cdot\triangledownρε∙=σ:D+ρh−q⋅▽
4.3. 初始构型下能量守恒的总体形式与局部形式
在初始构型下，
∫v0ρ0ε∙dv0=∫v0Jσ:Ddv0+∫v0ρ0hdv0−∫∂v0q⃗0⋅0N⃗dS0\int_{v_0}\rho_0\overset{\bullet}{\varepsilon}\ dv_0 =\int_{v_0}\mathscr{J}\sigma:\bold D\ dv_0+\int_{v_0}\rho_0 h\ dv_0-\int_{\partial v_0}\vec{q}_0\cdot{_0\vec{N}}\ dS_0∫v0ρ0ε∙ dv0=∫v0Jσ:D dv0+∫v0ρ0h dv0−∫∂v0q0⋅0N dS0
式中，q⃗0=Jq⃗⋅F−T\vec{q}_0=\mathscr{J}\vec q\cdot\overset{-T}{\bold{F}}q0=Jq⋅F−T 。局部形式可写作：
ρ0ε∙=Jσ:D+ρ0h−q⃗0⋅▽0=T:E∙+ρ0h−q⃗0⋅▽0\rho_0\overset{\bullet}{\varepsilon}=\mathscr{J}\sigma:\bold D+\rho_0 h-\vec{q}_0\cdot{\triangledown_0}=\bold T:\overset{\bullet}{\bold E}+\rho_0 h-\vec{q}_0\cdot{\triangledown_0}ρ0ε∙=Jσ:D+ρ0h−q0⋅▽0=T:E∙+ρ0h−q0⋅▽0
对于具有单位初始体积的均匀热力学体系，将上式沿时间积分，即从平衡态（1）变化至平衡态（2）有：
ρ0[ε(2)−ε(1)]=∫(1)(2)T:dE+∫(1)(2)δQ\rho_0[\varepsilon_{(2)}-\varepsilon_{(1)}] =\int_{(1)}^{(2)}\bold T:d\bold E+\int_{(1)}^{(2)}\delta\mathscr{Q}ρ0[ε(2)−ε(1)]=∫(1)(2)T:dE+∫(1)(2)δQ
由于内能的变化与路径无关，但输入体系的热能与路径相关，则内力做功与路径相关，特别地，对于绝热过程内力做功与路径无关。
（十一）质量、动量、动量矩与能量守恒相关推荐
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