流体力学——流体动力学

流体动力学

研究途径

雷诺输运定理（RTT）

质量守恒定律和连续方程

不可压缩平面流动的流函数

动量守恒定律（牛顿第二定理）和动量方程

流体运动基本控制方程

伯努利(Bernoulli)方程

研究途径

研究外力作用下流体的运动问题。两个研究途径分别为系统途径和控制体途径。

系统途径

是对由确定的流体质点所组成的流体团系统的动力特性进行研究。由于系统途径直接研究的是流体质点，因此也称为物质体途径。可以看到该研究途径与拉格朗日法对应。

特点：

系统由同一群流体质点组成；在流动过程种，系统会随之移动、变形、或者与它周围的流体发生相互作用，但系统内物质的量始终不变。

在流动过程中，系统边界的大小和形式可以随时间不断变化，边界面上可以承受外界的作用力；

由于系统由确定的流体质点组成，所以在边界处并没有质量交换，没有流体质点进出物质表面。

控制体途径

是对一个固定空间控制体的流体动力学特性进行研究。控制体途径是与流体运动学中的欧拉方法对应的。

特点：

控制体是固定在空间上的，因此位置不会改变，形状一般也不会发生变化；

由于流体可以进出控制体，因此在控制表面上可以有质量动量交换；这个流体物理量进出控制表面的过程，和流体运动学的流量概念有关；

在控制表面上会受到控制体之外的流体或固体对它的作用力。

雷诺输运定理（RTT）

任何一个物理量G都满足下列物质体积与控制体积的关系式

$\frac{d}{dt}\oint \oint \oint _{MV}GdV=\frac{\partial }{\partial t}\oint \oint \oint _{CV}GdV+\int \int _{CS}GV\cdot ndS$

质量守恒定律和连续方程

由于控物体积总是包含相同的流体

$\frac{d}{dt}\oint \oint \oint _{MV}\rho dV=0$

经过推导，对于可压缩流体非定常运动：

$\frac{\mathrm{\partial \rho } }{\mathrm{\partial } t}+\bigtriangledown \cdot (\rho V)=0$

对于可压缩流体定常运动：

$\bigtriangledown \cdot (\rho V)=0$

对于不可压缩流体，连续方程化简为：

$\bigtriangledown \cdot\vec{ V}=0\Leftrightarrow\frac{\mathrm{\partial u } }{\mathrm{\partial } x}+\frac{\mathrm{\partial v} }{\mathrm{\partial } y}+\frac{\mathrm{\partial w } }{\mathrm{\partial } z}$

不可压缩平面流动的流函数

如果函数P(x,y)，Q(x,y)在封闭区域及其边界上具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\int Pdx+Qdy$ 与路径无关之充分必要条件是：

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

根据连续方程可知：对于不可压平面二维流动满足：

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\Leftrightarrow\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-v)$

如果令P=-v，Q=u，则存在一积分函数：

$\Psi =\int Pdx+Qdy=\int udy-vdx$

上式与路径无关， $\Psi (x,y,t)$ 称为流函数。

动量守恒定律（牛顿第二定理）和动量方程

流体微团动量的变化率等于作用在流体微团上的力（表面力和体积力）：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\oint \oint \oint _{MV}\rho \cdot VdV=\int \int _{MS}\vec{s}dS+\oint \oint \oint _{MV}\rho \cdot gdV$

动量方程

$\rho \frac{d\vec{V}}{dt}=\bigtriangledown \cdot \vec{\sigma} +\rho g$

对于不可压牛顿流体的动量方程为：

$\rho (\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} +\vec{V}\cdot \bigtriangledown \vec{V})=-\bigtriangledown p+\nu \bigtriangledown ^{2}\vec{V}+\rho \vec{g}$

对应：局部加速度+惯性项=压力梯度+粘性扩散项+重力

流体运动基本控制方程

连续性方程和动量方程组成了流体运动基本控制方程。

对于不可压缩牛顿流体，运动的基本控制方程为：

连续方程： $\bigtriangledown \cdot\vec{ V}=0$

动量方程： $\rho (\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} +\vec{V}\cdot \bigtriangledown \vec{V})=-\bigtriangledown p+\nu \bigtriangledown ^{2}\vec{V}+\rho \vec{g}$

方程组有四个未知量：三个 $u_{i}$ ，一个压力p，控制方程四个，因此方程组是封闭的。这个方程组称为Navier-Stokes方程，简称NS方程。

NS是针对真是流体的运动，求解非常复杂，我们先考虑理想流体，忽略粘性简化问题，这样NS方程可以简化为理想流体的Euler方程。 $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} +\vec{V}\cdot \bigtriangledown \vec{V}=-\frac{1}{\rho }\bigtriangledown p+ \vec{f}$

$\vec{V}\cdot \bigtriangledown \vec{V}=\bigtriangledown (\frac{V^{2}}{2})-\vec{V}\times (\bigtriangledown \times\vec{V} )=\bigtriangledown (\frac{V^{2}}{2})-\vec{V}\times \Omega =\bigtriangledown (\frac{V^{2}}{2})-2\vec{V}\times\vec{ \omega }$

可以简化为Lamb方程：

$\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} +\bigtriangledown (\frac{V^{2}}{2})-2V\times \omega =-\frac{1}{\rho }\bigtriangledown p+ \vec{f}$

伯努利(Bernoulli)方程

条件：

理想流体

不可压缩流体

定常流动

体积力为重力

由Lamb方程改写推导Bernoulli函数H：

$\bigtriangledown H=2V\times \omega$

$H=\frac{V^{2}}{2}+\frac{P}{\rho }+gz$

Bernoulli函数在同一条流线和涡线上为常数，下式称为Bernoulli方程

$H=\frac{V^{2}}{2}+\frac{P}{\rho }+gz=const$

对应：速度水头（动能）+压力水头（压能）+位置水头（势能）=常数

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