高等数学：第五章 定积分（6） 广义积分
§5.7 广义积分
【引例】计算曲线 
与
轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。
按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 
。
显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。
该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：
编程计算
的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。
请运行matlab程序gs0504.m。
一、积分区间为无穷区间的广义积分
【定义一】
设函数
在区间
上连续， 任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作
,亦即
此时，也称广义积分收敛；
如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数 在区间
上连续，任取 
，如果极限
存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，
记作 
，亦即
此时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。
类似地
设函数在区间
上连续，如果广义积分
与 
同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作
。
亦即
这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。
上述积分称为无穷限的广义积分。
【反例】 
但 
发散,因此，是发散的。
【例1】计算广义积分 
解：
显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。
【例2】计算广义积分 
。
解：
观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：
请注意：将上下限
代入原函数时，意味着取极限
这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。
【例3】证明广义积分
当 
时收敛； 当
发散。
解：若 
若 
二 无界函数的广义积分
【定义二】
设函数 在区间
上连续， 且
，取 
，
如果极限
存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 
。亦即
此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点
称之为奇点。
类似地，有
设函数 在区间
上连续，且
，取 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即
此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点 
称之为奇点。
类似地， 又有
设函数在
上除
外均连续， 且
，
如果两个广义积分 
与 
均收敛， 则定义广义积分
否则称广义积分发散。点 
称之为奇点
注明：上式中的
与
不一定是相同的。
【例4】求 
解：
，
故 
奇点。
注明：为了简便，上述过程也可写成
【例5】讨论
的敛散性。
解：
,故 
是奇点。
故 
发散，从而， 原广义积分
亦发散。
此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法
【例6】证明广义积分
当
时收敛；当
时发散。
解：当 
时， 是奇点，
广义积分 
，
故广义积分 
发散；
当 时，
故广义积分 收敛；
当时，
故广义积分 发散；
综合得：
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