2.1 集合

子集

x ∈ N + x ⊆ N x 是 N 的子集 x \in {N}_{+} \\ x \subseteq {N}\\ x是\textbf{N}的子集 x∈N+x⊆Nx是N的子集

空集

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray* at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲*̲}̲ S 是任意集合 \\ \e…

基数：集合中元素的个数

∣ S ∣ 代表集合的基数 \left\vert S \right\vert\ 代表集合的基数 ∣S∣ 代表集合的基数

例子：
S 代表小于 10 的正整数奇数，则 ∣ S ∣ = 5 。 S 代表小于10的正整数奇数，则\ \left\vert S \right\vert = 5。 S代表小于10的正整数奇数，则 ∣S∣=5。

幂集：集合S所有子集的集合

例子:
0 , 1 , 2 的幂集是 P ( { 0 , 1 , 2 } ) = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , { 1 , 2 , 3 } } {0,1,2}的幂集是\\ \mathcal{P}(\{0,1,2\})=\{\\ \emptyset,\\ \{0\},\{1\},\{2\},\\ \{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\\ \{1,2,3\}\\ \} 0,1,2的幂集是P({0,1,2})={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}}

笛卡尔积

直接来一个例子会好理解很多：
集合 A = { a , b } 集合 B = { 0 , 1 , 2 } A 和 B 的笛卡尔积就是： A × B = { { a , 0 } , { a , 1 } , { a , 2 } { b , 0 } , { b , 1 } , { b , 2 } } 集合A=\{a,b\}\\ 集合B=\{0,1,2\}\\ A和B的笛卡尔积就是：\\ A \times B = \{\\ \{a,0\},\{a,1\},\{a,2\}\\ \{b,0\},\{b,1\},\{b,2\}\\ \} 集合A={a,b}集合B={0,1,2}A和B的笛卡尔积就是：A×B={{a,0},{a,1},{a,2}{b,0},{b,1},{b,2}}
两个集合的笛卡尔积也可以采用下面的公式表示：
A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A \times B = \{(a,b)\mid a \in A \wedge\ b \in B\} A×B={(a,b)∣a∈A∧ b∈B}

量词和集合

例子：
∀ x ∈ R ( x 2 > = 0 ) ∃ x ∈ Z ( x 2 = 1 ) \forall x \in \textbf{R}\ ({x}^{2}>=0) \\ \exists x \in \textbf{Z}\ ({x}^{2}=1) ∀x∈R (x2>=0)∃x∈Z (x2=1)
真值集和量词
{ x ∈ D ∣ P ( x ) } 代表的含义是，对于集合 D 中的任何一个元素 x ， P ( x ) 都为真。 \{\ x \in D | P(x)\ \}\ 代表的含义是，对于集合D中的任何一个元素x，P(x)都为真。 { x∈D∣P(x) } 代表的含义是，对于集合D中的任何一个元素x，P(x)都为真。

2.2 集合运算

集合中的一些概念。

并集

A ∪ B A \cup B A∪B

交集

A ∩ B A \cap B A∩B

差集

x ∈ ( A − B ) ，该集合代表该元素属于集合 A , 但是不属于集合 B x \in (A - B)，该集合代表该元素属于集合A,但是不属于集合B x∈(A−B)，该集合代表该元素属于集合A,但是不属于集合B

补集

U 表示全集， A ˉ 代表 A 的补集，即 U − A U表示全集，\bar{A}代表A的补集，即 U-A U表示全集，Aˉ代表A的补集，即U−A

集合的一些衡等式。

恒等律

A ∩ U = A A ∪ ∅ = A A \cap U = A \\ A \cup \emptyset = A A∩U=AA∪∅=A

支配率

A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅ A \cup U = U \\ A \cap \emptyset = \emptyset A∪U=UA∩∅=∅

幂等律

A ∩ A = A A ∪ A = A A \cap A = A \\ A \cup A = A A∩A=AA∪A=A

补律

A ˉ ‾ = A \overline{\bar{A}}=A Aˉ=A

交换律

A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A A∩B=B∩AA∪B=B∪A

结合律

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \\ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配率

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray* at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲*̲}̲ A \cup (B \cap…

A：一杯有芋圆的奶茶

B：一杯有珍珠的奶茶

C：一杯有波霸的奶茶

式子1:

左边：一杯一定有芋圆，但是肯定没有珍珠和波霸的奶茶

右边：一杯一定有芋圆和珍珠的奶茶，一杯一定有芋圆和波霸的奶茶，这两杯奶茶的交集：一定有芋圆，但是肯定没有珍珠和波霸

式子2:

左边：一杯奶茶里肯定没有芋圆，珍珠和波霸

右边：一杯肯定没有芋圆和珍珠的奶茶，再混上一杯肯定没有芋圆和波霸的奶茶，即一杯肯定没有芋圆和珍珠，以及波霸的奶茶

德摩根率

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray* at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲*̲}̲ \overline{A \c…

式子3：

左边：一杯可能有芋圆或者珍珠的奶茶

右边：一杯没有芋圆的奶茶再混入一杯没有珍珠的奶茶

式子4:

左边：一杯肯定没有芋圆和珍珠的奶茶

右边：一杯肯定没有芋圆的奶茶，和一杯肯定没有珍珠的奶茶的交集，那就肯定没有芋圆和珍珠的奶茶

吸收率

KaTeX parse error: No such environment: eqnarray* at position 8: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲*̲}̲ A \cup (A \cap…

互补率

A ∪ A ˉ = U A ∩ A ˉ = ∅ A \cup \bar{A} = U \\ A \cap \bar{A} = \emptyset A∪Aˉ=UA∩Aˉ=∅

一组集合的交集和并集

A 0 ∪ A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ⋯ A n = n ⋃ i = 0 A i {A}_{0} \cup {A}_{1} \cup {A}_{2} \cup {A}_{3} \cup \cdots {A}_{n} = \begin{gathered} n \\ \bigcup \\ i=0 \end{gathered} {A}_{i} A0∪A1∪A2∪A3∪⋯An=n⋃i=0Ai

A 0 ∩ A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ⋯ A n = n ⋂ i = 0 A i {A}_{0} \cap {A}_{1} \cap {A}_{2} \cap {A}_{3} \cap \cdots {A}_{n} = \begin{gathered} n \\ \bigcap \\ i=0 \end{gathered} {A}_{i} A0∩A1∩A2∩A3∩⋯An=n⋂i=0Ai

多重集合

采用下面的形式记录一个元素在集合中出现的次数：
{ m 0 ∙ a 0 , m 1 ∙ a 1 , m 2 ∙ a 2 , … } \{{m}_{0}\bullet{a}_{0},{m}_{1}\bullet{a}_{1},{m}_{2}\bullet{a}_{2},\dots\} {m0∙a0,m1∙a1,m2∙a2,…}

2.3 函数

不按照书上的严格定义，简单点来说函数就是一个集合到另一个集合的一种转换关系。但是一定要A中的元素仅能对应到B中的一个元素。
f : A → B A 是 f 的定义域 B 是 f 的陪域如果 f ( a ) = b a 是 b 的原像 b 是 a 的像 f:A \rightarrow B \\ A 是 f 的定义域 \\ B 是 f 的陪域 \\ 如果 f(a)=b \\ a 是 b 的原像 \\ b 是 a 的像 f:A→BA是f的定义域B是f的陪域如果f(a)=ba是b的原像b是a的像

如果 f 1 和 f 2 是 A 到 R 的函数，那么： ∀ x ∈ A f 1 ( x ) + f 2 ( x ) = ( f 1 + f 2 ) ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) = ( f 1 f 2 ) ( x ) 如果 {f}_{1}和{f}_{2}是A到R的函数，那么：\\ \forall x \in A\\ {f}_{1}(x)+{f}_{2}(x)=({f}_{1}+{f}_{2})(x) \\ {f}_{1}(x){f}_{2}(x)=({f}_{1}{f}_{2})(x) 如果f1和f2是A到R的函数，那么：∀x∈Af1(x)+f2(x)=(f1+f2)(x)f1(x)f2(x)=(f1f2)(x)

一对一映射

即A中的元素和B中的元素通过f是一一对应的。

映上函数 / 满射

∀ y ∃ x ( f ( y ) = x ) \forall y \exists x (f(y)=x) ∀y∃x(f(y)=x)

即对于集合B中的任何一个元素，都存在一个A中的元素与之对应。

注意事项：

A 中的元素不用都对应到B中的元素
A中的元素可以多个元素对应到B中的一个元素
一对一不一定是映上函数，因为可能有B中的元素没有对应到。

双射函数

即改函数即是一对一函数，又是映上函数。

反函数

如果f是一个双射函数，则其存在反函数。
f ( a ) = b f − 1 ( b ) = a f(a)=b \\ {f}^{-1}(b)=a f(a)=bf−1(b)=a

函数的合成

g 是集合 A 到集合 B 的函数， f 是集合 B 到集合 C 的函数，函数 f 和 g 的合成记做 f ∘ g ，即 ∀ a ∈ A ， ( g ∘ f ) ( a ) = f ( g ( a ) ) g是集合A到集合B的函数，f是集合B到集合C的函数，函数f和g的合成记做 f \circ g，即\\ \forall a \in A，(g \circ f)(a)=f(g(a)) g是集合A到集合B的函数，f是集合B到集合C的函数，函数f和g的合成记做f∘g，即∀a∈A，(g∘f)(a)=f(g(a))

上，下取整函数

Z 代表整数， ⌈ x ⌉ 代表 a ∈ Z , a > = x ⌊ x ⌋ 代表 a ∈ Z , a < = x \textbf{Z}代表整数，\\ \lceil x \rceil\ 代表\ a \in \textbf{Z}, a>=x \\ \lfloor x \rfloor\ 代表\ a \in \textbf{Z},a<=x Z代表整数，⌈x⌉ 代表 a∈Z,a>=x⌊x⌋ 代表 a∈Z,a<=x

2.4 序列和求和

序列求和

∑ n j = m a j \sum^{j=m}_{n} {a}_{j} n∑j=maj

几何序列求和

∑ j = 0 n a r j = { a r n + 1 − a r − 1 r ≠ 1 ( n + 1 ) a r = 1 \sum^{n}_{j=0} a{r}^{j}= \begin{cases} \frac{ a{r}^{n+1}-a }{ r-1 }& r \neq 1 \\ (n+1)a& r=1 \end{cases} j=0∑narj={r−1arn+1−a(n+1)ar=1r=1

2.5 集合的基数

如果一个无限集 S 是可数的，就使用阿里夫零来代表其基数： ℵ 0 ，写作 ∣ S ∣ = ℵ 0 如果一个无限集S是可数的，就使用阿里夫零来代表其基数：{\aleph}_{0}，写作 |S|={\aleph}_{0} 如果一个无限集S是可数的，就使用阿里夫零来代表其基数：ℵ0，写作∣S∣=ℵ0

什么叫做无限集S是可数的呢？就是可以把集合中的元素排列成序列。（具体内容没搞懂。。。。。。）

2.6 矩阵

m × n 代表的是一个 m 行， n 列的矩阵 A = [ a i j ] 代表的是矩阵中第 i 行第 j 列的元素。 m \times n 代表的是一个 m 行，n列的矩阵 \\ A=[{a}_{ij}]\ 代表的是矩阵中第i行第j列的元素。 m×n代表的是一个m行，n列的矩阵A=[aij] 代表的是矩阵中第i行第j列的元素。

矩阵求和

A + B = [ a i j + b i j ] A + B = [{a}_{ij}+{b}_{ij}] A+B=[aij+bij]

例子：
$$
\begin{vmatrix}
1&2&3 \
4&5&6
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
1&2&3 \
4&5&6
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
2&4&6 \
8&10&12
\end{vmatrix}
$$

矩阵乘法

例子：

$$
\begin{vmatrix}
1&0&4 \
2&1&1 \
3&1&0\
0&2&2
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
2&4\
1&1\
3&0\
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
12+01+43 & 14+01+40 \
22+11+13 & 24+11+10 \
32+11+03 & 34+11+00 \
02+21+23 & 04+21+20 \
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
14&4\
8&9\
7&13\
8&2
\end{vmatrix}
$$

克罗克内积

I n = [ δ i j ] ，如果 i = j ， δ i j = 1 ，如果 i ≠ j ， δ i j = 0 ∣ 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 1 ∣ A 是一个 m × n 的矩阵，则 A × I m = A {I}_{n}=[{\delta}_{ij}]，如果 i=j，{\delta}_{ij}=1，如果 i \neq j，{\delta}_{ij}=0 \\ \\ \begin{vmatrix} 1&0&0& \cdots & 0\\ 0&1&0& \cdots & 0\\ 0&0&1& \cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&1 \end{vmatrix} \\ A 是一个 m \times n 的矩阵，则 A \times {I}_{m} = A In=[δij]，如果i=j，δij=1，如果i=j，δij=0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮0010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋮0000⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣A是一个m×n的矩阵，则A×Im=A

转置

矩阵 A 的转置记录为 A T ，即交换行和列。 ∣ 14 4 8 9 7 13 8 2 ∣ 经过转置后 ∣ 14 8 7 8 4 9 13 2 ∣ 矩阵 A 的转置记录为{A}^{T}，即交换行和列。\\ \begin{vmatrix} 14&4\\ 8&9\\ 7&13\\ 8&2 \end{vmatrix} 经过转置后 \begin{vmatrix} 14&8&7&8\\ 4&9&13&2 \end{vmatrix} 矩阵A的转置记录为AT，即交换行和列。∣∣∣∣∣∣∣∣1487849132∣∣∣∣∣∣∣∣经过转置后∣∣∣∣1448971382∣∣∣∣

对称矩阵：即经过转置后与原矩阵相同的矩阵

如下面这个矩阵就是个对称矩阵
∣ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ∣ \begin{vmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣110101010∣∣∣∣∣∣

矩阵进行“并”和“交”计算

A = ∣ 1 0 1 0 1 0 ∣ , B = ∣ 0 1 0 1 1 0 ∣ A= \begin{vmatrix} 1&0&1\\ 0&1&0 \end{vmatrix}, B= \begin{vmatrix} 0&1&0\\ 1&1&0 \end{vmatrix} A=∣∣∣∣100110∣∣∣∣,B=∣∣∣∣011100∣∣∣∣

并：
$$
A \vee B =\
\begin{vmatrix}
1 \vee 0 & 0 \vee 1 & 1 \vee 0 \
0 \vee 1 & 1 \vee 1 & 0 \vee 0
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
1&1&1\
1&1&0
\end{vmatrix}
$$
交：

$$
A \wedge B =\
\begin{vmatrix}
1 \wedge 0 & 0 \wedge 1 & 1 \wedge 0 \
0 \wedge 1 & 1 \wedge 1 & 0 \wedge 0
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
0&0&0\
0&1&0
\end{vmatrix}
$$

布尔积

A 是一个 m × k 的集合， B 是一个 k × n 的集合， A ⊙ b 代表 A 和 B 的布尔积。 A 是一个 m \times k的集合，B是一个 k \times n 的集合，A \odot b 代表 A 和 B的布尔积。 A是一个m×k的集合，B是一个k×n的集合，A⊙b代表A和B的布尔积。

例子：
$$
A=
\begin{vmatrix}
1&0\
0&1\
1&0
\end{vmatrix}，
B=
\begin{vmatrix}
1&1&0\
0&1&1
\end{vmatrix}
\
A \odot B=
\begin{vmatrix}
(1 \wedge 1) \vee (0 \wedge 0) & (1 \wedge 1) \vee (0 \wedge 1) & (1 \wedge 0) \vee (0 \wedge 1)\
(0 \wedge 1) \vee (1 \wedge 0) & (0 \wedge 1) \vee (1 \wedge 1) & (0 \wedge 0) \vee (1 \wedge 1)\
(1 \wedge 1) \vee (0 \wedge 0) & (1 \wedge 1) \vee (0 \wedge 1) & (1 \wedge 0) \vee (0 \wedge 1)
\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}
1&1&0\
0&1&1\
1&1&0
\end{vmatrix}
$$

布尔幂：即集合A的r次布尔积

A [ r ] = A ⊙ A ⊙ A ⋯ A ⏟ r 个 A {A}^{[r]}=\underbrace{A \odot A \odot A \cdots A}_{r个A} A[r]=r个A A⊙A⊙A⋯A

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