动态规划/滚动数组/通项公式—

一、题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

二、思路解析

1.迭代
第n个台阶只能从第n-1或者n-2个上来。到第n-1个台阶的走法 + 第n-2个台阶的走法 = 到第n个台阶的走法，已经知道了第1个和第2个台阶的走法，一路加上去。
2.动态规划
我们用 f(x) 表示爬到第 xx 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以我们可以列出如下式子：
f(x) = f(x - 1) + f(x - 2)
1）可以通过转移方程和边界条件实现一个复杂度是O（n）的。
2）可以用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。
滚动数组是DP中的一种编程思想。简单的理解就是让数组滚动起来，每次都使用固定的几个存储空间，来达到压缩，节省存储空间的作用。起到优化空间，主要应用在递推或动态规划中。
3.通项公式
通过数学计算得到递推数列的通项公式。直接用这个公式计算就可以。

三、代码

1.迭代java

public int climbStairs(int n) {if(n==1||n==2) return n;int a = 1,b = 2;//a 表示第n-2个台阶的走法，b表示第n-1个台阶的走法,传统迭代int count = 0 ;for(int i = 3;i<=n;i++){count = a+b;//累加结果//向下迭代a = b;//下次迭代的第n-2个台阶的走法等于上次迭代n-1个台阶的走法b = count;//下次迭代的第n-1个台阶的走法等于上次迭代的第n个台阶走法}return count;}

2.动态规划+滚动数组C++

class Solution {public:int climbStairs(int n) {int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q; q = r; r = p + q;}return r;}
};

3.动态规划+滚动数组java

class Solution {public int climbStairs(int n) {int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q; q = r; r = p + q;}return r;}
}

4.通项公式java

public class Solution {public int climbStairs(int n) {double sqrt5 = Math.sqrt(5);double fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);return (int) Math.round(fibn / sqrt5);}
}

四、总结

1.动态规划+滚动数组
时间复杂度：循环执行 n次，每次花费常数的时间代价，故渐进时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：这里只用了常数个变量作为辅助空间，故渐进空间复杂度为 O(1)。