从二叉树到完全二叉树

之所以会出现完全二叉树的概念，是因为可由此在物理上，以线性表的方式实现逻辑上的完全二叉树。

完全二叉树的叶子节点只能出现在最底部两层；

1. 完全二叉树

对于一棵高度为 hh 的二叉树，如果其第 00 层至 h−1h-1 层（倒数第二层）都是满的，也就是说，对所有 0≤i≤h−10\leq i \leq h-1，第 ii 层有 2i2^i 个结点，前 h−1h-1 层的结点总数为 2h−12^h-1。如果最下一层的结点不满，则所有结点从最左边开始连续排列。这样的二叉树就是一棵完全二叉树。

2. 完全二叉树的性质

我自己得到的一些结论如下：

从 0 开始编号，编号为奇数的必定在左子节点，编号为偶数的必定在右子节点；

对某一个内部结点（internal node）而言，不可能出现有右子节点，而没有左子节点的情况；

完全二叉树与线性结构有自然的双向映射；

nn 个结点的完全二叉树的叶节点的范围是 n2∼n\frac n2\sim n
也即对完全二叉树而言，（后）一半是叶节点，（前）一半是内部结点（包括根节点）

nn 个结点的完全二叉树高度为 ⌊log2n⌋\left\lfloor\log_2n\right\rfloor

证，设完全二叉树 TT 包含 nn 个结点，高度是 hh。则 nn 与 hh 的关系为：

2h−1<n≤2h+1−1

2^h-1\lt n\leq 2^{h+1}-1

也即 2h≤n<2h+12^h\leq n\lt 2^{h+1}，两边同时取对数得 h≤log2n<h+1h\leq \log_2n\lt h+1 。可见 hh 为不大于 log2n\log_2 n 的最大整数；
（完全二叉树）如果 nn 个结点的完全二叉树的结点按层次并按从左到右的顺序从 0 开始编号，对任一节点 ii（0≤i≤n−10\leq i\leq n-1）都有：
- 序号为 0 的结点是根节点；
- 对于 i>0i\gt 0，其父节点的编号为 i−12\frac{i-1}2；
- 对于 2×i+1<n2\times i+1\lt n，其左子节点序号为 2×i+12\times i+1，否则无左子节点；
- 对于 2×i+2<n2\times i+2\lt n，其左子节点序号为 2×i+22\times i+2，否则无右子节点；
证明如下，使用数学归纳法，
- i⇒i−12i ⇒ \frac{i-1}2 ⇒ i+1⇒i2i+1⇒ \frac{i}2
  - 证：当 ii 为左节点时，i+1i+1 为其父节点的右结点，也即 i+1i+1 与 ii 为同一父节点的兄弟节点，此时 i2\frac i2 与 i−12\frac{i-1}2 相等，因为要取整数
  - 当 ii 为右结点时（ii 为偶数），则 i+1i+1 结点的父节点为 i−12+1\frac{i-1}2+1，
- i⇒2×i+1i ⇒ 2\times i+1 ⇒ i+1⇒2×i+3i+1⇒ 2\times i+3
  
  同样，分 ii 为左节点和右节点，进行证明，
  - 左节点时，i+1i+1 为其兄弟节点，显然其左子节点为 2i+32i+3
  - 右节点时，根据推算，i+1i+1（与 2i+12i+1、2i+22i+2 在同一层）结点的左子节点为 2i+32i+3
- 完全二叉树的一个重要特性，如上证明，它可以十分方便地存入一个表或数组，直接根据元素下标（index）就能找到下标对应结点的子节点或父节点，无须以其他方式记录树的结构信息。
  - 如果第 ii 层是满的，也即第 ii 层有 2i2^{i} 个结点；根的下标是 0，第 ii 层元素从 2i−12^{i}-1 的位置开始存放，连续 2i2^i 个元素都属于这一层；

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