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张浩驰：计算机程序设计艺术(TAOCP)精读笔记1 - 算法分析真正应该有的样子 Part 2​zhuanlan.zhihu.com

作者： @张靖昆

编辑： @张浩驰

一、前言

上一部分讲了算法的5个特征，事实上算法还有诸如效率(Performance)、鲁棒性(Robustness)等特征，效率要与有效性区分开，效率是与时空间复杂度相关的，而鲁棒性是指算法应对错误的能力例如运行时错误和错误输入等。Donald对这两个特性并没有过多介绍，只是对Performance做了一些简单的介绍，这里我也不再赘述，因为相对比较好理解，是算法的高阶特性。

在这一部分，Donald讲解了在整套TAOCP的写作中可能用到的数学知识Mathematical Preliminary，在细看了它的目录结构后，我发现这部分似乎就是《具体数学》(Concrete Mathematics)的缩略版，而这本《具体数学》的作者之一也是Donald，哈哈哈....

所以，，我在经过“深思熟虑”之后，决定将TAOCP的学习旅程分出一个分支部分，专门学习Concrete Mathematics，也就是说，之后的TAOCP将是《具体数学》和TAOCP的并行，TAOCP部分主要讲解算法部分，刚开始我读TAOCP也是为了更具体深刻的学习算法，但是没想到第一卷的大部头是具体数学，真难顶。

所以，TAOCP部分专门讲解算法，另开一个系列专门讨论具体数学，大家和我一起学习吧。哈哈哈哈.....

总之，不要在意这些细节，重点还是算法，对不对，我希望可以让大家通过这一系列的阅读，学习到干货，不需要记笔记，我就是要尽力做到让大家翻着手机，就把东西学了！

二、第1卷 基本算法 - 第1章 基本概念 - Analysis of an Algorithm

这里以一个简单算法的分析，来说明算法分析真正的样子

问：给定

个元素

,

,...

，如何寻找到该数组中最大值的索引j

，

从

开始到

？

答：这简单的要死对吧，就设定一个局部变量记录暂时的最大值，遍历所有数组所有元素即可。ok，按照这个方法，我们可以将算法步骤如下所示，注意算法是从上到下顺序执行，然后根据条件跳转：、

步骤1. [初始化] 令

步骤2. [边界条件] 若

，则算法终止

步骤3. [比较] 如果

，则转至步骤5

步骤4. [改变

的值] 令

步骤5. [减小

] 让

减

，并返回步骤2

上述步骤浅显易懂，没毛病。那么你将如何分析算法复杂度？当然这也是P话，踏马的，这么简单，不就是

复杂性分析绝不止于

可以说，人们确实更多关注算法的上界，为了心里有个数，了解最坏的情况，这可能适用于做决策不需要精细考察的场合，但在算法分析中，仅仅一个

实际上插入排序真正的复杂度是和初始输入序列中的逆序对个数相关的，如果不做更为细致的分析，我们很容易忽视这一点，往往以

的函数一笔带过，非常粗糙！

好了， 我要开始装逼了，我们来看看如何分析这个算法：

不妨先看一下下表，

步骤 执行次数

步骤1

步骤2

步骤3

步骤4

步骤5

这里步骤4是一个未知量，因为我不知道序列的分布是怎么样的，因此并不清楚步骤4会被执行多少次，而对该算法的分析就是对A的研究！

so？怎么研究？嗯哼？

没错，就是这样，yes！采用概率研究！当然你也可以只考虑A最好的情况和最坏的情况，比如你所选取的k一开始就是最大元素，之后每次到步骤3都会直接跳至步骤5，或者你开始选取的k是最小元素，使得步骤4始终会被执行。

考虑全排列，即1个序列有多少种排列方法，根据我们的已有知识，一个包含有

个元素的序列全部的可能排列为

***那么，重点来了，如何确定

时，序列全排列的个数？

现在我们的研究是黑盒性质的，我们并不清楚原始序列的元素是什么样的即我们不知道原始序列有没有相同的元素或者相同的元素有多少等等，因此我们只能一般意义上来进行概率研究，我们不能考虑元素本身的特征，要从一般意义上研究

举个栗子帮助大家理解“为什么要从一般意义上研究

”。假如我们事先知道了这个序列是从

然而这并不是我们想要的，所以这就是为什么我们必须从一般意义上研究A，否则我们的研究就必须考虑原始序列中元素的分布情况，那就多了去了，原始序列可能遵循均匀分布、正态分布、几何分布等等等，也可能不遵循任何分布，你对每种分布都做一次研究，那你的研究就不具有很好地泛化能力，原地爆炸。

如何才能解决这个问题？这个重点我们下一篇继续，大家可以自行思考一下先。

感谢大家的阅读，非常感谢！让我们共同成长！