文章目录

卷一：数学知识准备篇
- 数学归纳法
- 数学归纳法与程序设计
- 初等数论基础
- - 素数筛算法
  - 余数
  - 欧几里得算法
  - 扩展欧几里得
  - 斐波那契数列
  - 快速幂算法
  - 快速乘算法
  - 矩阵快速幂
- 练习题：HZOJ.317幸运八

卷一：数学知识准备篇

数学归纳法

证明P(1)
假设P(k)正确 --> 证明P(k+1)
证毕，P(n)正确

数学归纳法与程序设计

循环累加求和
递归求阶乘
HZOJ-236 递归实现组合型枚举 oj.haizeix.com

int main(){int sum = 0;for(int i = 1; i <= 100; i++){sum += i;}cout << sum << endl;return 0;
}

int f(int n){if(n == 1) return 1;return n * f(n - 1);
}int main(){cout << f(5) << endl;return 0;
}

void output(int n, int m, int p, vector<int> &buff){
//从n个数字中选m个数字，p:当前可以选择的最小数字
//buff：当前已经选的数字if(buff.size() == m){for(int i = 0; i < m; i++){if(i != 0) cout << " ";cout << buff[i];}cout << endl;return;}//buff数量不足m的情况for(int i = p; i <= n; i++){buff.push_back(i);//继续添加元素output(n, m, i + 1, buffer);//继续往下递归调用,达到m就输出一种方案//输出结束后，把不应该存在buff末尾的元素删除buff.pop_back();}return;
}int main(){int n, m;cin >> n >> m;vector<int> buff;output(n, m, 1, buff);return 0;
}

了解数学归纳法平时更多的是为了保证程序设计的正确性，即使是复杂程序设计也一样。

初等数论基础

素数筛算法

//define MAX_N 10000
int prime[MAX_N + 5] = {0};
//被标记的i为1，没被标记为0
void init_prime(){for(int i = 2; i * i <= MAX_N; i++){if(prime[i]) continue;//i被标记了就继续//用j把i的倍数都标记for(int j = i * i; j <= MAX_N; j += i) prime[j] = 1;}//prime[0]:记录的是表中素数的个数  prime[0]前面存的是素数表，后面存的是标记信息for(int i = 2; i <= MAX_N; i++){//把所有素数整理到prime前半段if(prime[i] == 0) prime[++prime[0]] = i;}return;
}
int main(){init_prime();cout << "total prime : " << prime[0] << endl;int x;while(cin >> x){printf("prime[%d] = %d\n", x, prime[x]);}return 0;
}

余数

x + d = y + d (mod n)
x - d = y - d (mod n)
x * d = y * d (mod n)
a % b 可以写成 a - kb
以及注意逆元的概念 y * y` = 1

欧几里得算法

整数a，b的最大公约数一般表示为gcd(a, b)，终极奥义：gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

证明Ⅰ: b和a%b的最大公约数，也是a和b的公约数

证明Ⅱ: b和a%b的最大公约数也是a和b的最大公约数

int gcd(int a, int b){if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}int main(){int a, b;while(cin >> a >> b){printf("gcd(%d, %d) = %d\n", a, b, gcd(a, b));}return 0;
}

扩展欧几里得

ax 三 1 (mod b)
ax % b = 1
ax - kb = 1
ax + by = 1

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int nx, ny;//代表下一层的整数解int r = ex_gcd(b, a % b, nx, ny);x = ny;y = nx - a / b * ny;return r;
}int main(){int a, b;while(cin >> a >> b){c = ex_gcd(a, b, x, y);printf("%d * %d + %d * %d = %d\n", a, x, b, y, c);}return 0;
}

贝祖等式：ax + by = gcd(a, b) = c

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int nx, ny;//代表下一层的整数解int r = ex_gcd(b, a % b, nx, ny);x = ny;y = nx - a / b * ny;return r;
}
//修改一下变成求逆元的方法
int inv(int a, int b){int x, int y;ex_gcd(a, b, x, y);x %= b;x += b;x %= b;return x;//通过上面三步，x肯定变成了正数}int main(){int a, b;while(cin >> a >> b){printf("%d * %d %% %d = 1\n", a, inv(a, b), b);}return 0;
}

斐波那契数列

F(0) = 0, F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
F(n+m) = F(m)F(n+1) + F(m-1)F(n)

//蓝色斜杠是c/c++特殊语法
#define TEST(func){\long long b, e;\b = clock();\func;\e = clock();\printf("Run %lld ms\n", (e - b) * 1000 / CLOCKS_PRE_SEC);\
}unordered_map<int, int> f_result; //哈希表
long long f(long long n){if(n <= 2) return !!(n);//归一化: 0=>0 非0=>1if(f_result.find(n) == f_result.end()){//如果没计算过就重新计算long long a = n / 2, b = n - a;long long val1 = f(b), val2 = f(a + 1), val3 = f(b - 1),val4 = f(a);f_result[n] = (val1 * val2 + val3 * val4) % 9973;}return f_result[n];
}
long long normal_f(long long n){long long a = 0, b = 1;for(int i = 0; i < n; i++){b = (a + b) % 9973;a = b - a;}b = (b + 9973) % 9973;return b;
}
int main(){long long n;while(cin >> n){TEST(printf("f[%lld] = %lld\n", n, normal_f(n)));TEST(printf("f[%lld] = %lld\n", n, f(n)));}return 0;
}

快速幂算法

int quick_power(int a, int b){int ans = 1, temp = a;while(b){if(b % 2) ans *= temp;//b的末尾是奇数时temp *= temp;b /= 2;//去掉二进制末尾那个值}return ans;
}
int main(){int a, b;while(cin >> a >> b){printf("%d^%d = %d\n", a, b, quick_power(a, b));}return 0;
}

快速乘算法

//适用于 a*b 超界的情况
int quick_mul(int a, int b){int ans = 0, temp = a;while(b){//当b!=0时if(b % 2) ans += temp;//如果b末尾是1 累加temp += temp;b /= 2;}return ans;
}int main(){int a, b;while(cin >> a >> b){printf("%d * %d = %d\n", a, b, quick_mul(a, b));}return 0;
}

矩阵快速幂

//解决形如 F(n) = aF(n - 1) + bF(n - 2)
class Matrix {//初始化n行m列矩阵
public:Matrix(int n, int m, int e = 0) : n(n), m(m) {for(int i = 0; i < n; i++) c.push_back(vector<long long>(m, 0));for(int i = 0; i < n; i++) c[i][i] = 1;}vector<long long> &operator[](int ind){ return c[ind];}Matrix &operator%(int x){//矩阵取余for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){c[i][j] %= x;}}return *this;}Matrix operator*(const Matrix &obj){//矩阵乘法Matrix ret(n, obj.m);//结果矩阵for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < obj.m; j++){ret[i][j] = 0;for(int k = 0; k < m; k++){ret[i][j] += c[i][k] * obj.c[k][j];}}}return ret;}
private:int n, m;vector<vector<long long>> c;
};Matrix quick_power(Matrix a, int b){Matrix ans(2, 2, 1), temp = a;//两行两列的单位矩阵while(b){if(b % 2) ans = ans * temp % 9973;temp = temp * temp % 9973;b /= 2;}return ans;
}int main(){Matrix a(2, 2);//初始化系数矩阵a[0][0] = 1, a[0][1] = 1, a[1][0] = 1, a[1][1] = 0;int n;while(cin >> n){Matrix b = quick_power(a, n);//b矩阵等于a矩阵的n次方printf("f[%d] = %lld\n", n, b[1][0]);}         return 0;
}

练习题：HZOJ.317幸运八

题目：众所周知，八是一个吉利数字。现给定一个数字N，求最短能被N整除的只由8组成的数字的长度

相当于：8(10^x - 1) / 9 - k * n = 0 的最小的x值 (10^x - 1) - k (9n) / 8 = 0 k中和9n都包含一部分8

9n` = 9n / gd(n, 8)

(10^x - 1) - k(9n`) = 0

10^x = 1 (mod 9n`)

gd(10, 9n`) = 1

long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}long long phi(long long n){long long i = 2, x = n;while(i * i <= x){if(x % i == 0) n -= (n / i);while(x % i == 0) x /= i;i += 1;}if(x != 1) n -= (n / x);return n;
}
long long quick_mul(long long a, long long b, long long c){long long ans = 0, temp = a;while(b){//当b!=0if(b & 1) ans = (ans + temp) % c;//b的最后一位是1temp = (temp + temp) % c;b >>= 1;}return ans;
}long long quick_mod(long long a, long long b, long long c){//快速幂long long ans = 1, temp = a;while(b){//if(b & 1) ans = ans * temp % c;//这里可能超过范围 需改写if(b & 1) ans = quick_mul(ans, temp, c);//快速乘 加法temp = quick_mul(temp, temp, c);b >>= 1;}return ans;
}set<long, long> getSet(long long x){//unordered_set无序   set是有序表long long i = 2;set<long, long> h, temp;//两个哈希表h.insert(1);//初始化表while(i * i <= x){while(x % i == 0){for(auto y : h) temp.insert(y * i);//遍历哈希表中的所有数字 乘以i 并且重新插入到哈希表中for(auto y : temp) h.insert(y);//将temp表的数据插入到tempx /= i;}i += 1;}if(x != 1){//说明x自己是素数temp.clear();for(auto y : h){//cout << "insert : " << y * x << endl;temp.insert(y * x);}for(auto y : temp) h.insert(y);}return h;
}int main(){long long n, x;cin >> n;n *= 9;n /= gcd(n, 8)//n和8的最大公约数if(gcd(n, 10) != 1){//没有答案的时候printf("0\n");//输出0return 0;}x = phi(n);//欧拉函数值auto x_set = getSet(x);//获得x所有的因子//cout << x << endl;//输出x的值for(anto i : x_set){//需要优化 快速枚举因子 -> 遍历 if(x % i) continue;if(quick_mod(10, i, n) != 1) continue;cout << i << endl;//printf("%lld\n", i);break;}return 0;
}

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