作者：翟天保Steven
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场景需求

做图像处理，滤波是家常便饭，今天给大家分享巴特沃斯滤波器实现。

众所周知，在频谱中，低频主要对应图像在平滑区域的总体灰度级分布，高频对应图像细节部分，如边缘和噪声。巴特沃斯滤波器被称作最大平坦滤波器。其特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有纹波，而在阻频带则逐渐下降为零，公式和具体原理就不再罗列了，百度一下全都有，接下来是硬货——C++&OpenCV代码实现。

相关功能函数的C++实现代码

// 巴特沃斯低通滤波核函数
cv::Mat butterworth_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n)
{cv::Mat butterworth_low_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1float D0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型butterworth_low_pass.at<float>(i, j) = 1.0f / (1.0f + pow(d / D0, 2 * n));}}return butterworth_low_pass;
}// 巴特沃斯低通滤波
cv::Mat butterworth_low_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n)
{// H = 1 / (1+(D/D0)^2n)   n表示巴特沃斯滤波器的次数// 阶数n=1 无振铃和负值    阶数n=2 轻微振铃和负值  阶数n=5 明显振铃和负值   阶数n=20 与ILPF相似cv::Mat padded = image_make_border(src);cv::Mat butterworth_kernel = butterworth_low_kernel(padded, d0, n);cv::Mat result = frequency_filter(padded, butterworth_kernel);return result;
}// 巴特沃斯高通滤波核函数
cv::Mat butterworth_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n)
{cv::Mat butterworth_high_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1float D0 = (float)sigma;  // 半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型butterworth_high_pass.at<float>(i, j) =1.0f-1.0f / (1.0f + pow(d / D0, 2 * n));}}return butterworth_high_pass;
}// 巴特沃斯高通滤波
cv::Mat butterworth_high_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n)
{cv::Mat padded = image_make_border(src);cv::Mat butterworth_kernel = butterworth_high_kernel(padded, d0, n);cv::Mat result = frequency_filter(padded, butterworth_kernel);return result;
}// 频率域滤波
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur)
{cv::Mat mask = scr == scr;scr.setTo(0.0f, ~mask);//创建通道，存储dft后的实部与虚部（CV_32F，必须为单通道数）cv::Mat plane[] = { scr.clone(), cv::Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1) };cv::Mat complexIm;cv::merge(plane, 2, complexIm); // 合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）cv::dft(complexIm, complexIm); // 进行傅立叶变换，结果保存在自身// 分离通道（数组分离）cv::split(complexIm, plane);// 以下的操作是频域迁移fftshift(plane[0], plane[1]);// *****************滤波器函数与DFT结果的乘积****************cv::Mat blur_r, blur_i, BLUR;cv::multiply(plane[0], blur, blur_r);  // 滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）cv::multiply(plane[1], blur, blur_i);  // 滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）cv::Mat plane1[] = { blur_r, blur_i };// 再次搬移回来进行逆变换fftshift(plane1[0], plane1[1]);cv::merge(plane1, 2, BLUR); // 实部与虚部合并cv::idft(BLUR, BLUR);       // idft结果也为复数BLUR = BLUR / BLUR.rows / BLUR.cols;cv::split(BLUR, plane);//分离通道，主要获取通道return plane[0];
}// 图像边界处理
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src)
{int w = cv::getOptimalDFTSize(src.cols); // 获取DFT变换的最佳宽度int h = cv::getOptimalDFTSize(src.rows); // 获取DFT变换的最佳高度cv::Mat padded;// 常量法扩充图像边界，常量 = 0cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, h - src.rows, 0, w - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));padded.convertTo(padded, CV_32FC1);return padded;
}// 实现频域滤波器的网格函数
void getcart(int rows, int cols, cv::Mat &x, cv::Mat &y) {x.create(rows, cols, CV_32FC1);y.create(rows, cols, CV_32FC1);//设置边界//计算其他位置的值for (int i = 0; i < rows; ++i) {if (i <= rows / 2) {x.row(i) = i;}else {x.row(i) = i - rows;}}for (int i = 0; i < cols; ++i) {if (i <= cols / 2) {y.col(i) = i;}else {y.col(i) = i - cols;}}
}// fft变换后进行频谱搬移
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{// 以下的操作是移动图像  (零频移到中心)int cx = plane0.cols / 2;int cy = plane0.rows / 2;cv::Mat part1_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)cv::Mat part2_r(plane0, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));cv::Mat part3_r(plane0, cv::Rect(0, cy, cx, cy));cv::Mat part4_r(plane0, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));cv::Mat temp;part1_r.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(实部)part4_r.copyTo(part1_r);temp.copyTo(part4_r);part2_r.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(实部)part3_r.copyTo(part2_r);temp.copyTo(part3_r);cv::Mat part1_i(plane1, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  //元素坐标(cx,cy)cv::Mat part2_i(plane1, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));cv::Mat part3_i(plane1, cv::Rect(0, cy, cx, cy));cv::Mat part4_i(plane1, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));part1_i.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(虚部)part4_i.copyTo(part1_i);temp.copyTo(part4_i);part2_i.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(虚部)part3_i.copyTo(part2_i);temp.copyTo(part3_i);
}

测试代码

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<ctime>
using namespace std;
using namespace cv;cv::Mat butterworth_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n);
cv::Mat butterworth_low_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n);
cv::Mat butterworth_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n);
cv::Mat butterworth_high_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n);
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur);
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src);
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1);
void getcart(int rows, int cols, cv::Mat &x, cv::Mat &y);
Mat powZ(cv::InputArray src, double power);
Mat sqrtZ(cv::InputArray src);int main(void)
{Mat test = imread("tangsan.jpg", 0);float D0 = 50.0f;float D1 = 5.0f;Mat lowpass = butterworth_low_pass_filter(test, D0,2);Mat highpass = butterworth_high_pass_filter(test, D1, 2);imshow("original", test);imshow("low pass", lowpass / 255);     // lowpass的数据都比较大，0-255，imshow对于float型Mat显示需要除以255imshow("high pass", highpass / 255);   // highpass的数据都比较大，0-255，imshow对于float型Mat显示需要除以255waitKey(0);system("pause");return 0;
}// 巴特沃斯低通滤波核函数
cv::Mat butterworth_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n)
{cv::Mat butterworth_low_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1float D0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型butterworth_low_pass.at<float>(i, j) = 1.0f / (1.0f + pow(d / D0, 2 * n));}}return butterworth_low_pass;
}// 巴特沃斯低通滤波
cv::Mat butterworth_low_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n)
{// H = 1 / (1+(D/D0)^2n)   n表示巴特沃斯滤波器的次数// 阶数n=1 无振铃和负值    阶数n=2 轻微振铃和负值  阶数n=5 明显振铃和负值   阶数n=20 与ILPF相似cv::Mat padded = image_make_border(src);cv::Mat butterworth_kernel = butterworth_low_kernel(padded, d0, n);cv::Mat result = frequency_filter(padded, butterworth_kernel);return result;
}// 巴特沃斯高通滤波核函数
cv::Mat butterworth_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma, int n)
{cv::Mat butterworth_high_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1float D0 = (float)sigma;  // 半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型butterworth_high_pass.at<float>(i, j) =1.0f-1.0f / (1.0f + pow(d / D0, 2 * n));}}return butterworth_high_pass;
}// 巴特沃斯高通滤波
cv::Mat butterworth_high_pass_filter(cv::Mat &src, float d0, int n)
{cv::Mat padded = image_make_border(src);cv::Mat butterworth_kernel = butterworth_high_kernel(padded, d0, n);cv::Mat result = frequency_filter(padded, butterworth_kernel);return result;
}// 频率域滤波
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur)
{cv::Mat mask = scr == scr;scr.setTo(0.0f, ~mask);//创建通道，存储dft后的实部与虚部（CV_32F，必须为单通道数）cv::Mat plane[] = { scr.clone(), cv::Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1) };cv::Mat complexIm;cv::merge(plane, 2, complexIm); // 合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）cv::dft(complexIm, complexIm); // 进行傅立叶变换，结果保存在自身// 分离通道（数组分离）cv::split(complexIm, plane);// 以下的操作是频域迁移fftshift(plane[0], plane[1]);// *****************滤波器函数与DFT结果的乘积****************cv::Mat blur_r, blur_i, BLUR;cv::multiply(plane[0], blur, blur_r);  // 滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）cv::multiply(plane[1], blur, blur_i);  // 滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）cv::Mat plane1[] = { blur_r, blur_i };// 再次搬移回来进行逆变换fftshift(plane1[0], plane1[1]);cv::merge(plane1, 2, BLUR); // 实部与虚部合并cv::idft(BLUR, BLUR);       // idft结果也为复数BLUR = BLUR / BLUR.rows / BLUR.cols;cv::split(BLUR, plane);//分离通道，主要获取通道return plane[0];
}// 图像边界处理
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src)
{int w = cv::getOptimalDFTSize(src.cols); // 获取DFT变换的最佳宽度int h = cv::getOptimalDFTSize(src.rows); // 获取DFT变换的最佳高度cv::Mat padded;// 常量法扩充图像边界，常量 = 0cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, h - src.rows, 0, w - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));padded.convertTo(padded, CV_32FC1);return padded;
}// 实现频域滤波器的网格函数
void getcart(int rows, int cols, cv::Mat &x, cv::Mat &y) {x.create(rows, cols, CV_32FC1);y.create(rows, cols, CV_32FC1);//设置边界//计算其他位置的值for (int i = 0; i < rows; ++i) {if (i <= rows / 2) {x.row(i) = i;}else {x.row(i) = i - rows;}}for (int i = 0; i < cols; ++i) {if (i <= cols / 2) {y.col(i) = i;}else {y.col(i) = i - cols;}}
}// fft变换后进行频谱搬移
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{// 以下的操作是移动图像  (零频移到中心)int cx = plane0.cols / 2;int cy = plane0.rows / 2;cv::Mat part1_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)cv::Mat part2_r(plane0, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));cv::Mat part3_r(plane0, cv::Rect(0, cy, cx, cy));cv::Mat part4_r(plane0, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));cv::Mat temp;part1_r.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(实部)part4_r.copyTo(part1_r);temp.copyTo(part4_r);part2_r.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(实部)part3_r.copyTo(part2_r);temp.copyTo(part3_r);cv::Mat part1_i(plane1, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  //元素坐标(cx,cy)cv::Mat part2_i(plane1, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));cv::Mat part3_i(plane1, cv::Rect(0, cy, cx, cy));cv::Mat part4_i(plane1, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));part1_i.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(虚部)part4_i.copyTo(part1_i);temp.copyTo(part4_i);part2_i.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(虚部)part3_i.copyTo(part2_i);temp.copyTo(part3_i);
}Mat powZ(cv::InputArray src, double power) {cv::Mat dst;cv::pow(src, power, dst);return dst;
}Mat sqrtZ(cv::InputArray src) {cv::Mat dst;cv::sqrt(src, dst);return dst;
}

测试效果

不同的滤波参数导致的滤波器尺寸大小不一，得到的结果也就不一样~

另外，如果我的代码有什么问题，欢迎大家提出异议批评指正，一同进步~

如果文章帮助到你了，可以点个赞让我知道，我会很快乐~加油！

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测试效果

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