判断整数_2021暑期强化不定方程整数解问题

不定方程整数解问题

一、预备知识：

1.裴蜀定理

二元整系数线性不定方程

ax+by=m (a,b,m∈Z)

存在整数解的充分必要条件：

(a,b)|m (即ab的最大公约数能整除m)

【引例1】判断方程15x+21y=78是否存在整数解

【答】存在

【原因】15与21的最大公约数3能整除78，由裴蜀定理，方程存在整数解

【引例2】判断方程4x+6y=97是否存在整数解

【答】不存在

【原因】4与6的最大公约数2不能整除97，由裴蜀定理，方程不存在整数解(或者根据奇偶性：4x，6y均为偶数，97为奇数矛盾)

【引例3】判断方程7x+13y=25是否存在整数解

【答】存在

【原因】7与13的最大公约数1能整除25，由裴蜀定理，方程存在整数解

重要结论：

当a与b互质时，方程ax+by=m一定存在整数解

2.不定方程整数解的求解方法

----构造小系数倍数法(详见课程)

3.不定方程通解的写法：

若方程ax+by=m存在整数解，

且满足方程的一组特解为

x=p，y=q

则该方程的整数解通解为

x=p+bt，y=q-at，(其中t∈Z)

二、课程视频：

范老师承诺学生要把没讲完的视频上传公众号，范老师说到做到了！

你承诺自己今年要上岸，你也要说到做到！

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