牛顿迭代法的可视化详解

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本文利用可视化方法，为你直观地解析牛顿迭代法。

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

以 Isaac Newton 和 Joseph Raphson 命名的 Newton-Raphson 方法在设计上是一种求根算法，这意味着它的目标是找到函数 f(x)=0 的值 x。在几何上可以将其视为 x 的值，这时函数与 x 轴相交。

Newton-Raphson 算法也可以用于一些简单的事情，例如在给定之前的连续评估成绩的情况下，找出预测需要在期末考试中获得 A 的分数。其实如果你曾经在 Microsoft Excel 中使用过求解器函数，那么就使用过像 Newton-Raphson 这样的求根算法。另外一个复杂用例是使用 Black-Scholes 公式反向求解金融期权合约的隐含波动率。

Newton-Raphson公式

虽然公式本身非常简单，但如果想知道它实际上在做什么就需要仔细查看。

首先，让我们回顾一下整体方法：

1. 初步猜测根可能在哪里？

2. 应用 Newton-Raphson 公式获得更新后的猜测，该猜测将比初始猜测更接近根。

3. 重复步骤 2，直到新的猜测足够接近真实值。

这样就足够了吗？Newton-Raphson 方法给出了根的近似值，尽管通常它对于任何合理的应用都足够接近！但是我们如何定义足够接近？什么时候停止迭代？

一般情况下Newton-Raphson 方法有两种处理何时停止的方法。1、如果猜测从一个步骤到下一步的变化不超过阈值，例如 0.00001，那么算法将停止并确认最新的猜测足够接近。2、如果我们达到一定数量的猜测但仍未达到阈值，那么我们就放弃继续猜测。

从公式中我们可以看到，每一个新的猜测都是我们之前的猜测被某个神秘的数量调整了

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