柱爷与远古法阵

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 const int maxn=305;
  4 const long double eps=1e-14;
  5 long double a[maxn][maxn];//构造的高斯消元的矩阵，代表第i个方程式的第j个系数是多少 ，精度要求很高
  6 int n,m,f[maxn],x,y;
  7 inline int read()//读入优化
  8 {
  9     int x=0,f=1;
 10     char ch=getchar();
 11     while(ch<'0'||ch>'9')
 12     {
 13         if(ch=='-')
 14             f=-1;
 15         ch=getchar();
 16     }
 17     while(ch>='0'&&ch<='9')
 18     {
 19         x=x*10+ch-'0';
 20         ch=getchar();
 21     }
 22     return x*f;
 23 }
 24 inline void write(int x)//输出优化
 25 {
 26     if(x<0)
 27     {
 28         putchar('-');
 29         x=-x;
 30     }
 31     if(x>9)
 32         write(x/10);
 33     putchar(x%10+'0');
 34 }
 35 int main()
 36 {
 37     n=read();
 38     m=read();
 39     for(int i=1;i<=n;i++)
 40         f[i]=i;
 41     for(int i=1;i<=m;i++)//如果有传送的话，到哪里
 42         f[read()]=read();
 43      //建立增广矩阵的过程
 44     for(int i=1;i<n;i++)
 45     {
 46         a[i][i]=6;//第一个方程
 47         if(f[i]!=i)
 48             a[i][f[i]]=-6;//如果有传送门 系数直接抵消 x-y=0 相当于 x=y
 49         else
 50         {
 51             a[i][n+1]=6;//方程右边的常数
 52             for(int j=1;j<=6;j++)
 53             {
 54                 if(i+j<=n)
 55                     a[i][i+j]-=1.0;
 56                 else
 57                     a[i][i]-=1.0;//另外一个方程
 58             }
 59         }
 60     }
 61     a[n][n]=1.0;//最后的方程
 62     a[n][n+1]=0;
 63     //高斯消元的过程
 64     for(int i=1;i<=n;i++)
 65     {
 66         int p=i;
 67         for(int j=i+1;j<=n;j++)
 68         {
 69             if(fabs(a[j][i])>eps)//向下查找第j个系数不为0的方程
 70                 p=j;
 71         }
 72         if(fabs(a[p][i])>eps)
 73         {
 74             for(int j=i;j<=n+1;j++)
 75                 swap(a[i][j],a[p][j]);//把方程移上来
 76             for(int j=i+1;j<=n;j++)//向下消元 同时除去其他的系数
 77             {
 78                 if(fabs(a[j][i])>eps)
 79                 {
 80                     long double k=a[j][i]/a[i][i];//消元
 81                     for(int t=i;t<=n+1;t++)
 82                         a[j][t]-=a[i][t]*k;//系数相减
 83                 }
 84             }
 85         }
 86     }
 87     //回代过程
 88     for(int i=n;i>=1;i--)
 89     {
 90         for(int j=i+1;j<=n;j++)
 91         {
 92             if(fabs(a[i][j])>eps)
 93                 a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];//用已知的解求未知解
 94         }
 95         if(abs(a[i][i])<=eps&&abs(a[i][n+1])>eps)//如果出现矛盾
 96         {
 97             printf("-1\n");
 98             return 0;
 99         }
100         a[i][n+1]/=a[i][i];//求出当前的解
101     }
102     printf("%.12lf\n",(double)a[1][n+1]);//a[i][n+1]就是第i个未知数的解
103     return 0;
104 }

这个算法和之前谈及的有点儿不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法上的稳定性。将经过调换后的第一列作为起点，这算法由左至右地计算。每作出以下两个步骤，才跳到下一列：

1.定出每列的最后一个非0的数，将每行的数字除以该数，使到每行的第一个数成为1；

2.将每行的数字减去第一行的第一个数的某个倍数。

所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行梯阵式，再用代入法就可解决这个方程组。

线性方程组其实是相当容易解决的，基本的思想就是消元。但是当未知数较多时，解起来也蛮头疼的。在这里向大家介绍高斯消元法。例如解如下四元一次方程组：

除去各未知数，将各数排在一起，成为矩阵：

为方便起见，用r2+r1表示把第一行各数加到第二行对应数上。

r2-2*r1, r3-3*r1, r4-4*r1,r3+4*r2, r4+3*r2,r4-2*r3, 可得：

化为方程组形式则为：

从而，可得：

X4=4

X3=3

X2=2

X1=1.

说明：对于矩阵采取的变换的合理性，可对照相应方程组的变换加以理解。