Description

某天WJMZBMR学习了一个神奇的算法：树的点分治！
这个算法的核心是这样的：
消耗时间=0
Solve(树 a)
消耗时间 += a 的 大小
如果 a 中 只有 1 个点
退出
否则在a中选一个点x，在a中删除点x
那么a变成了几个小一点的树，对每个小树递归调用Solve
我们注意到的这个算法的时间复杂度跟选择的点x是密切相关的。
如果x是树的重心，那么时间复杂度就是O(nlogn)
但是由于WJMZBMR比较傻逼，他决定随机在a中选择一个点作为x！
Sevenkplus告诉他这样做的最坏复杂度是O(n^2)
但是WJMZBMR就是不信><。。。
于是Sevenkplus花了几分钟写了一个程序证明了这一点。。。你也试试看吧^^
现在给你一颗树，你能告诉WJMZBMR他的傻逼算法需要的期望消耗时间吗？（消耗时间按在Solve里面的那个为标准）
题面

Solution

考虑一个点会被算入贡献几次,假如我们构出了一棵点分树,那么就贡献了 \(dep\) 次
那么我们考虑任意一个点对 \((x,y)\), 只有 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲,才对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献
并且 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲的条件是 在原树中 \((x,y)\) 这条路径上的任意一个点都没有在分治到 \(y\) 之前被分治到
又因为一个点被随机的概率是均等的,则可以得出 \(y\) 对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献的概率是 \(\frac{1}{dis(x,y)}\)

所以原问题转化为求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\frac{1}{dis(x,y)}\)
这个可以用点分治实现
设 \(t[i]\) 表示路径长度为 \(i\) 的点的数量
\(t[i]=\sum_{j=1}^{i}t[i]*t[i-j]\)
这是一个卷积的形式,可以用 \(FFT\) 优化
复杂度 \(O(n*log^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef complex<double> dob;
const int N=240005;const double pi=acos(-1.0);
int n,nxt[N<<1],to[N<<1],num=0,head[N],rt;
int son[N]={N},sz[N],sum;bool vis[N];
inline void link(int x,int y){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;}
inline void getroot(int x,int last){sz[x]=1;son[x]=0;for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;getroot(u,x);sz[x]+=sz[u];son[x]=max(son[x],sz[u]);}son[x]=max(son[x],sum-sz[x]);if(son[x]<son[rt])rt=x;
}
int st[N],top=0,t[N],s[N],h[N],dis[N];
inline void dfs(int x,int last,int val){s[val]++;st[++top]=x;dis[x]=val;for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;dfs(u,x,val+1);}
}
namespace FFT{int n,L=0,R[N];inline void FFT(dob *A,int o){for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(A[i],A[R[i]]);for(int i=1;i<n;i<<=1){dob wn(cos(pi/i),sin(pi/i*o)),x,y;for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){dob w(1,0);for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){x=A[j+k];y=w*A[j+k+i];A[j+k]=x+y;A[j+k+i]=x-y;}}}}inline void mul(dob *A,int len){for(n=1,L=0;n<=len;n<<=1)L++;for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));FFT(A,1);for(int i=0;i<=n;i++)A[i]*=A[i];FFT(A,-1);A[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=(int)(A[i].real()/n+0.5),A[i]=0;}
}
dob A[N];
inline void calc(int x,int op,int val){top=0;dfs(x,x,val+1);int len=(sz[x]+1)<<1;for(int i=1;i<=top;i++)A[dis[st[i]]]=s[dis[st[i]]];FFT::mul(A,len);for(int i=1;i<=len;i++)t[i]+=h[i+1]*op;for(int i=1;i<=top;i++)s[dis[st[i]]]--;
}
inline void solve(int x){vis[x]=1;getroot(x,x);calc(x,1,0);for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){int u=to[i];if(vis[u])continue;getroot(u,x);calc(u,-1,1);rt=0;sum=sz[u];getroot(u,x);solve(rt);}
}
int main(){freopen("pp.in","r",stdin);freopen("pp.out","w",stdout);int x,y;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);x++;y++;link(x,y);link(y,x);}rt=0;sum=n;getroot(1,1);solve(rt);double ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1.0*t[i]/i;printf("%.4lf\n",ans);return 0;
}