高等数学-第一章函数极限连续

一.函数
函数部分基本有四个方面，定义，性质，初等函数，其他函数
1.定义：（对应法则，定义域）
对应法则：设X.Y是两个非空实数集，如果对于X中的任意一个数x，按照对应法则f,在Y中存在唯一的数y,则称f为数集X到Y的函数，记作：X->Y.
定义域：数集X称为函数的定义域，记为D(f)，数集Y称为函数的值域,记为R(f)
常用函数的定义域：
1/y, (y != 0); y^(1/2),(y >= 0),logay, y > 0; arcsiny |y |<= 1 arccosy |y| <= 1
2.性质分为：奇偶性，单调性，周期性，有界性
（1）奇偶性：证明f(x) = -f(-x) 或 f(x) = f(-x) 即可
（2）单调性：证明x1 < x2,且f(x1) < f(x2) f单调递增，否则递减
（3）周期性：证明f(x) = f(x + T)
（4）有界性：
二.极限
1.极限的性质：
（1）数列的保号性：若xn->正无穷，f(x) = A > 0,则一定存在N,使得当n > N时，xn > 0;
（2）函数的局部保号性：
若x->x0 f(x) = A , A > 0,则存在o，使得x在x0，o的去心领域内，f(x) > 0;
若x->正无穷，A > 0,则存在一个X，使得x > X, f(x) < 0
2.运算的注意事项
（1）如果碰到无穷/无穷，比较分子分母的最高次数，最高次项的系数即为结果。
（2）四则运算法则，不能对未定义式极限进行操作，例如无穷/无穷，0/0
3.极限存在的两个准则：
（1）单调有界数列必有极限
（2）夹逼准则
当x > X时，g(x) <= f(x) <= h(x), 若g(x)在x趋近于无穷时的极限为A，h(x)也为A,则g(x)为A。
4.两个重要极限
（1）当x趋近于0时，sinx / x 趋向于 1
（2）当x趋向于无穷时，(1 + 1/x)^x = e 这种极限是未定义式极限， 1的无穷次方
第二类重要极限的公式是：
f(x) 趋向于1，g(x) 趋向于无穷，则当x趋向于无穷时，limf(x)^g(x) = e ^lim[f(x)-1]*g(x);
5.无穷小的定义：
在数列中，当n->无穷时，xn趋向于0，则称{xn}为n->无穷时的无穷小量。
在函数中，当x->无穷时，f(x) = 0, 则称f(x)为x趋向无穷的无穷小量。
在函数中，当x->x0时，f(x) = 0, 则称f(x)为x趋向于x0的无穷小量。
6.无穷小的性质：
（1）有限个无穷小的和是无穷小
（2）有限个无穷小的积是无穷小
（3）无穷小乘以有界函数仍为无穷小
7.等价无穷小的替换
a~c , b ~d lima/b = limc/d
三.连续
1.连续的三要素：
（1）函数在x0有定义
（2）函数在x0有极限
（3）lim(x->x0)f(x) = f(x0)
2.lim(x->x0+)f(x) = f(x0) 称函数右连续 lim(x->x0-)f(x) = f(x0)称函数左连续
3.函数连续的充分必要条件是函数在x0处，既左连续，又右连续
4.如果函数在[a,b] ，在a点右连续，在b点左连续，称f(x)在[a,b]上连续
f(x),g(x)都是连续的，则f(x) + g(x),f(x) * g(x), f(x)/g(x)（g(x) != 0）
5.一切初等函数在定义域内连续
6.若f(x)在x0点连续，g(u)在u0 = f(x0)处连续，则复合函数f(g(x))在点x0处连续
7.间断点：无定义点或者函数分段点
8.间断点的类型：
（1）第一类间断点：
左右极限存在：
左右极限相等为可去间断点，补充定义可使其连续
左右极限不等为跳跃间断点
（2）第二类间断点
左右极限不全部存在
左右极限中有一个为无穷：无穷间断点
左右极限不存在，且函数值震荡（例如：sinx,x->无穷）: 震荡间断点
9.最大值最小值定理：
闭区间上的连续函数一定能够取到最大值或者最小值
推论1：开区间[a,b]上，lim(x->a+)f(x),lim(x->b-)f(x)，则f(x)在(a,b)上有界。
推论2：若存在一个x0在[a,b]上，使得f(x0)为无穷，则f(x)在a,b上的开区间，闭区间，左开右闭，左闭右开区间均无界
10.介值定理：
闭区间上的连续函数，必能取到端点值中间的值
推论：在闭区间上连续的函数，必可取到最大值和最小值之间的数
11.零值定理：在[a,b]上，f(a)*f(b) < 0且连续，则一定存在一个x0，使得f(x0) = 0；
一般出题会出中值问题，意思就是告诉你在[a,b]上，f(x)连续，让你找一个x0使得一个等式成立
解决方案：
（1）构造辅助函数，即将f(x0) = f(多项式) + c 构造成 F(x) = f(x0) - f(多项式)
（2）对新定义域的端点求极限，如果是开区间求左右极限，一般的两个极限的乘积小于0
（3）零值定理，存在一个x0，使得F(x0) = 0，即f(x0) = f(多项式)

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