程序员的数学笔记1--进制转换

最近在学习极客时间的课程–程序员的数学基础课。

课程地址：https://time.geekbang.org/column/intro/143

这是第一节课程的学习笔记–有关进制的转换。

二进制

什么是二进制

十进制计数是使用 10 作为基数，例如一个数字：2871，它是十进制表示，也就是
2871=2×1000+8×100+7×10+1=2×103+8×102+7×101+1×1002871 = 2×1000+8×100+7×10+1=2×10^3+8×10^2+7×10^1+1×10^0 2871=2×1000+8×100+7×10+1=2×103+8×102+7×101+1×100

二进制则采用 2 作为基数，它的数位是2n2^n2n的形式。例如二进制数字110101，它转换为十进制的表示过程如下：
1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=32+16+0+4+0+1=531×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0 = 32 + 16+0+4+0+1=53 1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=32+16+0+4+0+1=53
根据这个思路，八进制（以 8 为基数）和十六进制（以 16 为基数）等计数方法其实也是同样的道理，和十进制的转换也是同样的做法。

利用 Python 代码实现二进制和十进制的转换，如下所示：

# 十进制转二进制的方法：除2取余，逆序排列, https://blog.csdn.net/shirley_sweet/article/details/73896279
def change(n):result = '0'if n == 0:  # 输入为0的情况return resultelse:result = change(n // 2)  # 调用自身return result + str(n % 2)def decimal_to_binary(decimal_val):'''十进制转为二进制:param decimal_val::return:'''print('transfer %d to binary' % decimal_val)recursion_result = change(decimal_val)print('递归实现转换结果：', recursion_result)def binary_to_decimal_func(val):'''按照定义来实现，即 2^n 的形式:param val: str:return:'''print('original val: ', val)numbers = len(val)result = 0for i in range(numbers):result += int(val[i]) * pow(2, numbers - i - 1)return resultdef binary_to_decimal(val):'''二进制转十进制:param val::return:'''decimal2 = binary_to_decimal_func(str(val))print('第二种转换二进制为十进制：', decimal2)

实际上，Python 有内建函数可以直接实现这几个进制之间的转换，比如bin、oct、hex分别表示将十进制数转换为二进制、八进制和十六进制，而将其他进制转换为十进制，则可以用int(val, base)函数，只是需要注意输入值val必须是字符串，然后设置base参数为当前输入值所用的进制，比如二进制自然是设置base=2，代码如下所示：

def binary_to_decimal(val):'''二进制转十进制:param val::return:'''# 第一种方法，内建函数--int()，输入值必须是字符串形式decimal = int(str(val), 2)print('二进制数为: 0b%d' % val)print('二进制转换为十进制为：', decimal)def decimal_to_other_build_function(dec):'''采用内建函数将十进制转换参考 http://www.runoob.com/python3/python3-conversion-binary-octal-hexadecimal.html:param dec::return:'''print("十进制数为：", dec)print("转换为二进制为：", bin(dec))print("转换为八进制为：", oct(dec))print("转换为十六进制为：", hex(dec))

计算机为什么使用二进制？

二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点；
二进制非常适合逻辑运算；
组成计算机系统的逻辑电路通常只有两个状态，即开关的接通和断开。

二进制的位操作

移位操作

二进制左移一位，表示将数字翻倍，即乘以 2 ，但左移需要注意数字溢出的问题，需要考虑当前采用的变量类型位数，比如是int16类型，即只有 16 位数，那么就要考虑当前数值的位数是否达到 16 位了；

二进制右移一位，则表示将数字除以 2 ，并使用整数商，注意右移分为算术右移和符号右移，这是因为符号位的原因，一般符号位是0，表示该数值为正数；符号位是1，表示该数值是负数。

对于逻辑右移，需要在右移后在左边补上符号位，即正数补 0，负数补 1 ；

对于算术右移，就是保持符号位不动，其余位数右移。

在 Java 语言中，逻辑右移采用>>>表示，算术右移是>>表示，但 Python 并没有>>>运算符实现逻辑右移的操作。

简单的实现左移操作和算术右移操作：

def left_shift(val, n):'''左移操作:param val::param n: 移动的位数:return:'''print('二进制数为: 0b%d' % val)val = int(str(val), 2)print('十进制数值：', val)result = val << nprint('left shift %d, result=%s' % (n, result))result = bin(int(result))print('left shift {}, result={}'.format(n, result))def right_shift(val, n):'''右移操作:param val::param n::return:'''print('二进制数为: 0b%d' % val)val = int(str(val), 2)print('十进制数值：', val)math_val = val >> nprint('right shift {}, math_val={}'.format(n, math_val))result = bin(int(math_val))print('left shift {}, result={}'.format(n, result))

测试代码如下：

binary_val = 100101
# 输出结果是 0b1001010
left_shift(binary_val, 1)
# 输出结果是 0b10010
right_shift(binary_val, 1)

逻辑操作

或：参与操作的位中只要有一个是 1，最终结果就是 1；
与：参与操作的位必须都是 1，最终结果才是 1，否则就是 0；
异或：参与操作的位相同，最终结果就是 0，否则是 1。

代码实现如下：

def logic_operation(val1, val2):'''二进制的逻辑运算，与、或、非以及异或操作:param val1::param val2::return:'''print('orginal val:{},{}'.format(val1, val2))dec_val1 = int(str(val1), 2)dec_val2 = int(str(val2), 2)print('decimal val:{},{}'.format(dec_val1, dec_val2))and_result = dec_val1 & dec_val2or_result = dec_val1 | dec_val2not_result1 = ~dec_val1not_result2 = ~dec_val2different_or_result = dec_val1 ^ dec_val2print('and result：', bin(int(and_result)))print('or result：', bin(int(or_result)))print('not result1：', bin(int(not_result1)))print('not result2：', bin(int(not_result2)))print('different or result：', bin(int(different_or_result)))if __name__ == '__main__':binary_val = 100101binary_val2 = 110100logic_operation(binary_val, binary_val2)

测试的两个二进制数值分别是100101和110100，输出结果如下，这里非的操作会实现按位取反，对于有符号数，如果是正数就会变为一个负数。

orginal val:100101,110100
decimal val:37,52
and result： 0b100100
or result： 0b110101
not result1： -0b100110
not result2： -0b110101
different or result： 0b10001

上述源代码的地址是：

https://github.com/ccc013/CodesNotes/blob/master/Maths/Binary.py

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