图论--二分图--二分图的定义及其判断定

定义：

如果一张无向图的N个节点（N>=2）可以分成A B两个非空子集，其中A∩B=Ø，并且在同一集合内的点之间没有相连的边，则称这张无向图为二分图。A，B分别成为这个图的左部和右部。

定理：

一张无向图是二分图，当且仅当图中不存在奇环（长度为奇数的环）。

证明：

下面用反证法来证明。
假设X中的顶点x1与x2是邻接的，那UX1，X1X2，X2U就构成了一个环，这个环的长度为奇数；这与H不具有奇环相矛盾。因此，X中不存在相邻接的顶点。同样可以证明Y中也不存在相邻接的顶点。这样，我们就构造出非琐碎组件H的两个集合X与Y，X与Y是不相交的，X中任意两个顶点都不是邻接的；同样Y中任意两个顶点也都不是邻接的。因此H是二分的。同样可以证明所有其它的G的组件都是二分的。因此也就证明了不具有奇环的图是二分图。

匹配：

我们将这种两两不含公共端点的边合集M成为成为匹配，而元素最多的边集M则称为二分图的最大匹配。当二分图的匹配书等于2倍节点数的时候，这个匹配就称为原二分图的完美匹配（完备匹配）

最大匹配：

匈牙利算法（增广路算法）：稍微给你们提一句：

//二分图最大匹配数量
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=505;
int line[N][N];
int girl[N],used[N];
int k,m,n;
bool found(int x)
{for(int i=1; i<=n; i++){if(line[x][i]&&!used[i]){used[i]=1;if(girl[i]==0||found(girl[i])){girl[i]=x;return 1;}}}return 0;
}
int main()
{int x,y;while(scanf("%d",&k)&&k){scanf("%d %d",&m,&n);memset(line,0,sizeof(line));memset(girl,0,sizeof(girl));for(int i=0; i<k; i++){scanf("%d %d",&x,&y);line[x][y]=1;}int sum=0;for(int i=1; i<=m; i++){memset(used,0,sizeof(used));if(found(i)) sum++;}printf("%d\n",sum);}return 0;
}

二分图的最佳完美匹配：

二分图的最佳完美匹配就是在完备匹配的基础上，每条匹配边都有他的权值，要使权值最大化，最大化权值的完备匹配。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>using namespace std;
const int MAXN = 305;
const int INF = 0x3f3f3f3f;int love[MAXN][MAXN];   // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN];      // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN];       // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN];    // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN];     // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN];        // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN];        // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值int N;bool dfs(int girl)
{vis_girl[girl] = true;for (int boy = 0; boy < N; ++boy) {if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];if (gap == 0) {  // 如果符合要求vis_boy[boy] = true;if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) {    // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人match[boy] = girl;return true;}} else {slack[boy] = min(slack[boy], gap);  // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸}}return false;
}int KM()
{memset(match, -1, sizeof match);    // 初始每个男生都没有匹配的女生memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy);   // 初始每个男生的期望值为0// 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度for (int i = 0; i < N; ++i) {ex_girl[i] = love[i][0];for (int j = 1; j < N; ++j) {ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);}}// 尝试为每一个女生解决归宿问题for (int i = 0; i < N; ++i) {fill(slack, slack + N, INF);    // 因为要取最小值 初始化为无穷大while (1) {// 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止// 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);if (dfs(i)) break;  // 找到归宿 退出// 如果不能找到 就降低期望值// 最小可降低的期望值int d = INF;for (int j = 0; j < N; ++j)if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);for (int j = 0; j < N; ++j) {// 所有访问过的女生降低期望值if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;// 所有访问过的男生增加期望值if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;// 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！else slack[j] -= d;}}}// 匹配完成 求出所有配对的好感度的和int res = 0;for (int i = 0; i < N; ++i)res += love[ match[i] ][i];return res;
}int main()
{while (~scanf("%d", &N)) {for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j)scanf("%d", &love[i][j]);printf("%d\n", KM());}return 0;
}

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