【例题】给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。

前言： 上次学习汇编语言(清华大学张悠慧)是在11月26日，内容是IEEE 754(浮点数表示)。当时撇下了一道题，等度过了12月(英语六级+本科阶段的最后考试+最后的大作业)再把汇编捡起来。现在正是把这个题目捡起来的时候。

11月26日的学习笔记：点击这里进入CSDN链接

2020年4月3日得到指正，重新修改此文。

题目

给定一个浮点格式(IEEE 754)，有k位指数和n位小数，对于下列数，写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外，请描述其位表示。

数5.0；
能够被准确描述的最大奇数；
最小的正规格化数。

解决

前置知识一：IEEE 754

IEEE 754约定，计算机中浮点数二进制表示为：

数字形式：(−1)sM2E(-1)^s M 2^E(−1)sM2E

符号：s
尾数：M，是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数
阶码：E

编码形式：

s	exp	frac

exp域：E（注意，E要进行变换，再存储在exp中）；
frac域：M。

前置知识二：规格化浮点数（Normalized）

这里讨论到规格化浮点数（Normalized）：

满足条件：exp不全为0且不全为1。
真实的阶码值需要减去一个偏置（biased）量：
- E = Exp - Bias
- Exp：exp域所表示的无符号数值
- Bias的取值：
- 单精度数：127（Exp：1…254，E：-126…127）
- 双精度数：1023（Exp：1…2046，E：-1022…1023）
- Bias = 2^{e-1} - 1，e = exp的域的位数
frac的第一位隐含1：M = 1.xxx…x_2
- 因此第一位的“1”可以省去，xxx…x：bits of frac
- Minimum when 000…0 (M = 1.0)
- Maximum when 111…1 (M = 2.0 - \epsilon)

前置工作一：整理变量关系

Bias=2e−1−1Bias = 2^{e-1} - 1Bias=2e−1−1

E=exp−BiasE = exp - BiasE=exp−Bias

V=(−1)sM2EV = (-1)^s M 2^EV=(−1)sM2E

则E为dec(exp)−(2e−1)dec(exp) - (2^{e} - 1)dec(exp)−(2e−1)

E最大值为2e−1−1−(2e−1−1)=2e−1−12^e - 1 - 1 - (2^{e-1} - 1)= 2^{e-1} - 12e−1−1−(2e−1−1)=2e−1−1。（为什么不是2e−1−(2e−1−1)2^e - 1 - (2^{e-1} - 1)2e−1−(2e−1−1)呢？因为有规定：exp全部取1为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取1，顶多为(1)*(0)）

E的最小值为1−(2e−1−1)=2−2e−11-(2^{e-1}-1)=2-2^{e-1}1−(2e−1−1)=2−2e−1。（为什么不是0−(2e−1−1)0-(2^{e-1}-1)0−(2e−1−1)呢？因为有规定：exp全部取0为“非规格化浮点数”，因此规格化浮点数中exp不能全部取0，顶多为(0)*(1)）

前置工作二：总结特性

抛开例题，来看一个例子：

8位浮点数表示：exp域宽度为4 bits，frac域宽度为3 bits。则，其偏置量的值为2^(4-1) - 1 = 7.
其他规则符合IEEE 754规范。

取值范围如下表。

s	exp	frac	E	value
0	0000	000	-6	0
0	0000	001	-6	1/8 * 1/64 = 1/512
0	0000	010	-6	2/8 * 1/64 = 2/512
	…
0	0000	110	-6	6/8 * 1/64 = 6/512
0	0000	111	-6	7/8 * 1/64 = 7/512
0	0001	000	-6	8/8 * 1/64 = 8/512
0	0001	001	-6	9/8 * 1/64 = 9/512
	…
0	0110	110	-1	14/8 * 1/2 = 14/16
0	0110	111	-1	15/8 * 1/2 = 15/16
0	0111	000	0	8/8 * 1 = 1
0	0111	001	0	9/8 * 1 = 9/8
0	0111	010	0	10/8 * 1 = 10/8
	…
0	1110	110	7	14/8 * 128 = 224
0	1110	111	7	15/8 * 128 = 240
0	1111	000	n/a	inf

可以看出，假设frac有f位，则M可视为：

M={0+12f×C,if all(exp==0)1+12f×C,if both ’0’ and ’1’ in expn/a,if all(frac==1)M=\left\{ \begin{aligned} 0+\frac{1}{2^f} \times C &, \; & \text{if all(exp==0)} \\ 1+\frac{1}{2^f} \times C &, \; & \text{if both '0' and '1' in exp} \\ \text{n/a} &, \; & \text{if all(frac==1)} \\ \end{aligned} \right.M=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧0+2f1×C1+2f1×Cn/a,,,if all(exp==0)if both ’0’ and ’1’ in expif all(frac==1)

其中，C是整数，由frac决定，即C=dec(frac)C=dec(\text{frac})C=dec(frac)；

并且C满足0≤C≤2f−10 \le C \le 2^f - 10≤C≤2f−1。

则浮点数V的十进制即为：

V={(−1)s×22−2e−1×(0+12f×C),if all(exp==0)(−1)s×2[dec(exp)−(2e−1)]×(1+12f×C),if both ’0’ and ’1’ in exp(−1)sinf or n/a,if all(frac==1)V=\left\{ \begin{aligned} (-1)^s\times2^{2-2^{e-1}}\times(0+\frac{1}{2^f} \times C) &, \; & \text{if all(exp==0)} \\ (-1)^s\times2^{[dec(exp) - (2^{e} - 1)]}\times(1+\frac{1}{2^f} \times C) &, \; & \text{if both '0' and '1' in exp} \\ (-1)^s \; \text{inf or n/a} &, \; & \text{if all(frac==1)} \\ \end{aligned} \right.V=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(−1)s×22−2e−1×(0+2f1×C)(−1)s×2[dec(exp)−(2e−1)]×(1+2f1×C)(−1)sinf or n/a,,,if all(exp==0)if both ’0’ and ’1’ in expif all(frac==1)

dec(exp)−(2e−1)dec(exp) - (2^{e} - 1)dec(exp)−(2e−1)也可写作EEE：

V={(−1)s×22−2e−1×(0+12f×C),if all(exp==0)(−1)s×2E×(1+12f×C),if both ’0’ and ’1’ in exp(−1)sinf or n/a,if all(frac==1)V=\left\{ \begin{aligned} (-1)^s\times2^{2-2^{e-1}}\times(0+\frac{1}{2^f} \times C) &, \; & \text{if all(exp==0)} \\ (-1)^s\times2^{E}\times(1+\frac{1}{2^f} \times C) &, \; & \text{if both '0' and '1' in exp} \\ (-1)^s \; \text{inf or n/a} &, \; & \text{if all(frac==1)} \\ \end{aligned} \right.V=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(−1)s×22−2e−1×(0+2f1×C)(−1)s×2E×(1+2f1×C)(−1)sinf or n/a,,,if all(exp==0)if both ’0’ and ’1’ in expif all(frac==1)

其中，eee、fff分别为exp、frac位数，为常数。

解决问题一：数0.5

较为简单，直接解决如下。

0.5          // 转换为二进制 ==>
0.1         // 移动小数点，使其在最左边的1之后
M   = 1.0  // 小数点后的数字存储在frac中
E   = -1   // 因为是左移
frac= 0*   // 共n位
exp = E + Bias= -1 + (2^(e-1) - 1)

则，位的描述为：

s	exp	frac
0	bin(-1 + (2^(e-1) - 1))	00…(共n位)

解决问题二：能够被准确描述的最大奇数

根据前置工作二，可以看出，对于规格化浮点数可化简为：

V=(−1)s×2E×(1+12f×C)=(−1)s×(2E+2E−f×C)\begin{aligned} V & = & (-1)^s\times2^{E}\times(1+\frac{1}{2^f} \times C) \\ & = & (-1)^s \times (2^{E}+2^{E-f} \times C) \end{aligned}V==(−1)s×2E×(1+2f1×C)(−1)s×(2E+2E−f×C)

现在的任务有两个：

是整数，不能有小数（则EEE应大于等于fff）；
是奇数（2E2^E2E不是奇数，因此使2E−f×C2^{E-f} \times C2E−f×C为奇数，则2E−f2^{E-f}2E−f取1，则取E=fE=fE=f）。

下面分类讨论：

情况一：E可以取到f时，

即2e−1−1≥f2^{e-1} - 1 \ge f2e−1−1≥f时，

EEE取fff，CCC取其能取的最大奇数，对应的二进制为：
exp：dec2bin(f+(2e−1−1)f + (2^{e-1} - 1)f+(2e−1−1))，frac：1*（frac全为1）

情况二：E取不到f时，

这种情况不可能，因为E取不到f，则很多整数都不能表示。

解决问题三：最小的正规格化数

观察：

则sss取000，EEE、CCC分别取最小。

由前置工作一，EEE取2−2e−12-2^{e-1}2−2e−1，CCC取000，对应的二进制为：
exp：0*1，frac：0*

总结

没有找到标准答案，特性与问题是我自己总结的。如果有错误与问题，欢迎通过piperliu@qq.com与我交流讨论。

另，12月确实太忙了，差点失去常规的学习状态，接下来可要复出咯！