正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2339

题目大意

给出nnn个点mmm条边的一张无向图，然后有一张n×nn\times nn×n的图，每个点是一个二元组(a,b)(a,b)(a,b)。(a,b)(a,b)(a,b)和(c,d)(c,d)(c,d)连边当且仅当aaa和ccc有连边，bbb和ddd有连边。

求新图的连通块数量

1≤n≤105,1≤m≤2×1051\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2\times 10^51≤n≤105,1≤m≤2×105

解题思路

计数问题，我们考虑固定一个基准，以原图中的连通块为基准。

对于一个点(x,y)(x,y)(x,y)，它能走到的点，发现如果xxx和yyy所在的连通块都可以黑白染色，那么xxx和yyy的黑白顺序是固定的，否则无论如何xxx整个都可以变为整个连通块或者yyy可以变为整个连通块。

然后这样一些会发现样例都过不了，因为有一种很特殊的点，就是没有任何边连接的点，这一部分的点我们需要特判。

记大小不是111的连通块数为AAA，其中能奇偶染色的为BBB，大小为111的连通块数为CCC，那么答案就是：
A×A+B×B+C×n×2−C×CA\times A+B\times B+C\times n\times 2-C\times CA×A+B×B+C×n×2−C×C

时间复杂度：O(n+m)O(n+m)O(n+m)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,tot,siz,A,B,C,ls[N],v[N];
bool flag;
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll c){if(v[x]==(c^1))flag=1;if(v[x]>=0)return;v[x]=c;siz++;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next)dfs(a[i].to,c^1);return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}memset(v,-1,sizeof(v));for(ll i=1;i<=n;i++)if(v[i]<0){flag=siz=0;dfs(i,0);if(siz==1)C++;else A++,B+=!flag;}printf("%lld\n",1ll*A*A+1ll*B*B+2ll*C*n-C*C);return 0;
}

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AT2339-[AGC011C]Squared Graph【黑白染色】

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