正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389

题目大意

nnn种物品，第iii种大小为viv_ivi，数量无限。对于每个s∈[1,m]s\in[1,m]s∈[1,m]求刚好填满sss容量的方案数。

1≤n,m≤1051\leq n,m\leq 10^51≤n,m≤105

解题思路

统计和为一定值的方案数，好像可以生成函数做？

每种物品大小vvv有一个生成函数
F(x)=∑i≥0xi×v=11−xvF(x)=\sum_{i\geq 0}x^{i\times v}=\frac{1}{1-x^v}F(x)=i≥0∑xi×v=1−xv1
然后所有生成函数乘起来就好了，但这样是O(n2log⁡n)O(n^2\log n)O(n2logn)的比暴力还慢…

乘起来比较慢，如果lnlnln之后改成加法就好了，但是lnlnln也是O(n)O(n)O(n)的。不过我们的式子比较特殊，对于lnlnln之后求个导就会有神器的结果
ln′(1−xv)=(1−xv)′1−xv=−v×xv−11−xvln'(1-x^v)=\frac{(1-x^v)'}{1-x^v}=\frac{-v\times x^{v-1}}{1-x^v}ln′(1−xv)=1−xv(1−xv)′=1−xv−v×xv−1
=−v∑i≥0xv−1+v×i=-v\sum_{i\geq 0}x^{v-1+v\times i}=−vi≥0∑xv−1+v×i
然后在积分回去就是
−∑i≥0xv+v×ii=−∑i≥1xv×ii-\sum_{i\geq 0}\frac{x^{v+v\times i}}{i}=-\sum_{i\geq 1}\frac{x^{v\times i}}{i}−i≥0∑ixv+v×i=−i≥1∑ixv×i
然后记录每个大小的物品出现了多少次，之后O(mlog⁡m)O(m\log m)O(mlogm)加系数，然后再exp+exp+exp+求逆回去就好了。

时间复杂度O(n+mlog⁡m)O(n+m\log m)O(n+mlogm)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void Glen(ll m){n=1;while(n<=m)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);return;
}
void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll inv=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*inv%P;}return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];NTT(t1,1);NTT(t2,1);for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;NTT(t1,-1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=0;i<n-1;i++)g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;g[n-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){for(ll i=n-1;i>0;i--)g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=1;return;}GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<=c;i++){ll x;scanf("%lld",&x);v[x]++;}Glen(l);for(ll i=l;i>=1;i--){ll w=v[i];v[i]=0;for(ll j=i;j<n;j+=i)(v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;}ll p=n;GetExp(v,f,n);for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;GetInv(f,v,n);for(ll i=1;i<=l;i++)printf("%lld\n",v[i]);return 0;
}

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