一、目的、

在查阅数据库设计理论时，发现《数据库系统概论》第5版的概念定义与网上质料有很大不同，不方便大学生做参考质料，并且有一些内容已经没有现实意义了，（如第二范式）。

二、适合阅读人群、

本文内容根据大学教材《数据库系统概论》中文第五版，以自己的理解总结出来的经验，以具体题目来强化概念，在提升做题技巧的基础上增强对概念的理解。适合考试复习参考！

三、内容、

约定概念、符号：A属性，α、β属性集，R关系模式。

、第一范式：

定义：关系模式R中所有属性都是原子域（atom）

、基于函数依赖的范式：

1、约定符号：F函数依赖集，F*函数依赖闭包集

函数依赖定义：如果存在模式（A,B），则A可以做主码，定义为：A→B，例图2

平凡函数依赖（trivial）： 
存在α→β，它们在所有的关系中都是满足的（基于现实中的事实判断）。一般的：β包含于α，则依赖是平凡的（数学抽象判断）。

、平凡依赖举例：

R1（学生ID，学生性别，年龄） 学生ID→学生性别 
R2（A,B,C,D,F） F{ AB→B} 此处α={A，B}，β={B}

2、BCNF范式定义：

具函数依赖集F的关系模式R属于BCNF范式的条件是：对于所有F*中α→β所有函数依赖，以下至少有一个成立： 
●α→β是平凡的函数依赖 
●α是模式R中的一个超码

3、要求更加宽松的范式，3NF定义：

具有函数依赖集F的关系模式R属于3NF范式的条件是：对于所有F*中所有α→β函数依赖，以下至少有一个成立： 
●α→β是平凡的函数依赖 
●α是模式R中的一个超码 
●α-β中的每一个属性A都包含在R的一个候选码中

4、函数依赖理论

约定符号：F*、α*属性集闭包

一、—-函数依赖集闭包（F*）

&逻辑蕴涵定义：给定函数依赖集F，由F出发，可以证明其他的函数也成立，就称这些函数依赖被F逻辑蕴涵。

函数蕴涵举例：

假设关系模式R={A，B,C,G,H,I}及函数依赖集F{A→B,A→C,CG→H,CG→I,B→H} 
则函数依赖： A→H被逻辑蕴涵（可由函数依赖定义推到） 
&（F*）定义：F逻辑蕴涵的所有函数依赖的集合

armstrong定理（正确有效、完备的） 
●自反律：若α为为一属性集且β⊆α，则有α→β。 
●增补律：若有α→β且λ为一属性集，则有λα→λβ。 
●传递律：若有α→β及β→λ，则有α→λ。 
派生的规则（简化计算），可由Armstrong推导出 
●合并律：若有α→β及α→λ，这则有α→βλ。 
●分解律：若有α→βλ，则有α→β及α→λ。 
●伪传递律：若有α→β及λβ→ σ ，则有α→σ。

函数依赖集闭包举例：

假设关系模式R={A，B,C,G,H,I}及函数依赖集F{A→B,A→C,CG→H,CG→I,B→H} 
推导： 
A→H，传递律； 
CG→HI，合并律； 
AG→H，伪传递律； 
上面求出的函数依赖并不完整，求F的闭包F*的算法可查阅《数据库系统理论》

二、—-属性集闭包：

如果有α→B，我们就称B被函数α函数确定。判断一个集合α是否为超码，可设计一个有α函数确定的属性集（α*）算法,如果确定的属性集包含了R关系模式所有属性，则集合α是超码。 
属性集闭包的作用：

&属性集闭包定义：令α为一属性集，我们称函数依赖集F下有α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α*。 
算法：

result：=α 
while（result发生变化） 
for each 函数依赖β→λ inF do

begin

if β⊆result then result:=result∩λ ； 
end

属性依赖集闭包举例：

　例如，已知关系模式R(U,F)，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,AC→B,CE→AG},求(BD)+ 
　　　解： 
　　　① (BD)+ = {BD}； 
　　　② 计算(BD)+ ，在F中扫描函数依赖，其左边为B,D或BD的函数依赖，得到一个D→EG。所以，(BD)+= {BDEG}。 
　　　③ 计算(BD)+，在F中查找左部为BDEG的所有函数依赖，有两个：D→EG和BE→C。所以(BD)+＝{(BD)∪EGC}={BCDEG}。 
　　　④ 计算(BD)+，在F中查找左部为BCDEG子集的函数依赖，除去已经找过的以外，还有三个新的函数依赖：C→A,BC→D,CE→AG。得到(BD)+＝{(BD)∪ADG}＝{ABCDEG}。 
　　　⑤ 判断(BD)+=U，算法结束。得到(BD)+＝{ABCDEG}。 
　　说明：上面说明(B,D)是该关系模式的一个超码。 
　　 
属性集闭包的作用： 
1：判断α是否为超码，通过计算α，看α是否包含了R中所有属性。 
2：通过验证是否β⊆α*，验证函数依赖α→β是否成立（证明正则覆盖）

三、—正则覆盖（canonical cover）：

&无关项（extraneous attribute）定义：若果去除函数依赖中的属性不会改变函数依赖的闭包，就称该属性是无关的。 
形式定义： 
●如果A∈α并且F逻辑蕴涵（F-{α→β}）U{(A-α)→β},则A在α是无关的 
●如果A∈β并且函数依赖{F-{α→β}）U{α→（β-A）}逻辑蕴涵F，则A在β是无关的（下面有例题）

检验方法： 
令R为一关系模式，F是在R上成立的给定的函数依赖集。考虑依赖α→β上的属性A。 
●如果A∈α，令λ=α-{A}，并且计算λ→β是否可以由F推出。 
●如果A∈β，F’=（F-{α→β}）U{α→（β-A）}，并检验α→A是否能够由F’推出。

&正则覆盖定义：F的正则覆盖Fc是一个依赖集，使得F与Fc相互逻辑蕴涵。此外，还包含如下性质： 
●Fc中任何函数依赖都不含无关属性。 
●Fc中函数依赖左半部分都是唯一的。即，Fc中不存在α1→β1，α2→β2，满足α1=α2。

正则覆盖举例：

可证明Fc与F具有相同的闭包，验证是否满足Fc等价于验证是否满足F。 
设：R(A,B,C)及F{A→BC，B→C,A→B,AB→C} 
求Fc？ 
解 
法一：运用算法和定义 
令Fc=F={A→BC，B→C,A→B,AB→C} 
①合并A→BC，A→B 为：A→BC 
得：Fc={A→BC，B→C,AB→C} 
②A在AB→C中是无关的，因为Fc逻辑蕴涵（Fc-{α→β}）U{(A-α)→β}={B→C,AB→C} 
得Fc={A→BC,B→C} 
③ C在A→BC中是无关的，（Fc-{α→β}）U{α→（β-A）}={A→B，B→C}逻辑蕴涵Fc。 
得：Fc={A→B,B→C} 
法二：可利用上面检验方法检验。（略）

四—无损连接：

设关系模式R与函数依赖集F，R分解为R1，R2，此分解是无损的必须满足：α=R1∩R2是R1或R2的超码，可利用属性集闭包验证。

五、—-保持依赖：

保持依赖的判断： 
如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（这是一个充分条件）。 
如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。 
该方法的表述如下： 
算法二： 
对F上的每一个α→β使用下面的过程： 
result:=α;

while(result发生变化)do

for each 分解后的Ri

t=(result∩Ri)+ ∩Ri 
result=result∪t

这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。

无损连接与保持依赖举例：

●设关系模式R(U,F)，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （43） 。 
（43） A．具有无损连接性、保持函数依赖 
B．不具有无损连接性、保持函数依赖 
C．具有无损连接性、不保持函数依赖 
D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

先做无损链接的判断。R1∩R2={C}，计算C+。 
Result=C 
由于C→D，C∈result，所以result=result∪D=CD 
可见C是R2的超码，该分解是一个无损分解。 
再做保持依赖的判断。 
A→BC，BC→E， E→A都在R1上成立（也就是说每一个函数依赖左右两边的属性都在R1中），C→D在R2上成立，因此给分解是保持依赖的。

选A。

再看一个复杂点的例题。

●给定关系模式R(U,F)，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为 
（40） ，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （41） 。 
（40） A．ABD 
B．ABE 
C．ACD 
D．CD 
（41） A．具有无损连接性、保持函数依赖 
B．不具有无损连接性、保持函数依赖 
C．具有无损连接性、不保持函数依赖 
D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

看见了吧，和前面一题多么的相像！ 
对于第一问，分别计算ABCD四个选项的闭包， 
（ABD）+ = { ABDE } 
（ABE）+ = { ABE } 
（ACD）+ = { ABCDE } 
（CD）+ = { ABCDE } 
选D。

再看第二问。 
先做无损链接的判断。R1∩R2={C}，计算C+。 
result=C 
因此C既不是R1也不是R2的超码，该分解不具有无损分解性。 
再做保持依赖的判断。 
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。 
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A是不是也被保持。

对于D→A应用算法二： 
result=D 
对R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符号，就用这个表示吧），t=ф，result=D 
再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D 
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

选D。

、基于多值依赖的范式：

4ＮＦ定义：

4NF是比BCNF更加严格的范式，属于BCNF的范式一定属于4NF范式，但属于4NF不一定属于BCNF

、范式判断

方法： 
充分运用属性集闭包判断是否属于BCNF， 
再判断是否属于3NF，此处主要要求是候选码，把判断出来的超码进行拆分，在求独自的属性闭包集，判断是否是超码。是，则不是候选码，反之亦然。（候选码：最小的超码）。

四、BCNF与3NF比较：

4ＮＦ定义：

4NF是比BCNF更加严格的范式，属于BCNF的范式一定属于4NF范式，但属于4NF不一定属于BCNF