圆锥曲线解答题实用结论

一、常规的直线联立

椭圆：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1
直线：y=kx+m
联立可得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0
判别式Δ=4a2b2(b2+a2k2−m2)4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2)4a2b2(b2+a2k2−m2)
韦达定理:
x1+x2=−2a2kmb2+a2k2x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{b^2+a^2k^2}x1+x2=b2+a2k2−2a2km
x1x2=a2(m2−b2)b2+a2k2x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}x1x2=b2+a2k2a2(m2−b2)
进一步可得其他常用的式子：
y1+y2=2mb2b2+a2k2y_1+y_2=\frac{2mb^2}{b^2+a^2k^2}y1+y2=b2+a2k22mb2
y1y2=b2(m2−a2k2)b2+a2k2y_1y_2=\frac{b^2(m^2-a^2k^2)}{b^2+a^2k^2}y1y2=b2+a2k2b2(m2−a2k2)
x1y2+x2y1=−2ka2b2b2+a2k2x_1y_2+x_2y_1=\frac{-2ka^2b^2}{b^2+a^2k^2}x1y2+x2y1=b2+a2k2−2ka2b2
x1x2a2+y1y2b2=2m2b2+a2k2−1\frac{x_1x_2}{a^2}+\frac{y_1y_2}{b^2}=\frac{2m^2}{b^2+a^2k^2}-1a2x1x2+b2y1y2=b2+a2k22m2−1
(实际上关于m2b2+a2k2\frac{m^2}{b^2+a^2k^2}b2+a2k2m2这个式子它有一个几何意义但是我不想告诉你嘿嘿嘿 )

衍生推广：

对于横截式x=ky+mx=ky+mx=ky+m:只需要把以上所有式子中的a2a^2a2和b2b^2b2互换，xxx和yyy互换即可。
对于双曲线x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1a2x2−b2y2=1:只需要把以上所有式子中的b2b^2b2用−b2-b^2−b2替换即可。

二、极线方程的推导

以下为椭圆：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1外一点P(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的极线(切点弦)方程x0xa2+y0yb2=1\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1a2x0x+b2y0y=1推导。
设PA，PB分别与椭圆相切于A(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1),B(x2,y2)(x_2,y_2)(x2,y2)点。
设PA：y=k1(x−x1)+y1y=k_1(x-x_1)+y_1y=k1(x−x1)+y1，与椭圆联立可得：
(b2+a2k12)x2+2a2k1(y1−k1x1)+a2[(y1−k1x1)2−b2]=0(b^2+a^2k_1^2)x^2+2a^2k_1(y_1-k_1x_1)+a^2[(y_1-k_1x_1)^2-b^2]=0(b2+a2k12)x2+2a2k1(y1−k1x1)+a2[(y1−k1x1)2−b2]=0
由相切可知：
Δ=4a2b2[b2+a2k12−(y1−k1x1)2]=04a^2b^2[b^2+a^2k_1^2-(y_1-k_1x_1)^2]=04a2b2[b2+a2k12−(y1−k1x1)2]=0
化简可得：
(x12−a2)k12−2x1y1k1+y12−b2=0(x_1^2-a^2)k_1^2-2x_1y_1k_1+y_1^2-b^2=0(x12−a2)k12−2x1y1k1+y12−b2=0
由于A在椭圆上，可知：
Δ=4a2b2(x12a2+y12b2−1)=04a^2b^2(\frac {x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}-1)=04a2b2(a2x12+b2y12−1)=0
故该方程只有一个根。
结合x12a2+y12b2=1\frac {x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1a2x12+b2y12=1易得k1=−b2x1a2y1k_1=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}k1=−a2y1b2x1
故PA：y=−b2x1a2y1(x−x1)+y1y=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1)+y_1y=−a2y1b2x1(x−x1)+y1
结合x12a2+y12b2=1\frac {x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1a2x12+b2y12=1化简得
PA:x1xa2+y1yb2=1\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1a2x1x+b2y1y=1
同理，PB:x2xa2+y2yb2=1\frac{x_2x}{a^2}+\frac{y_2y}{b^2}=1a2x2x+b2y2y=1
而P在PA和PB上，可得：
x1x0a2+y1y0b2=1\frac{x_1x_0}{a^2}+\frac{y_1y_0}{b^2}=1a2x1x0+b2y1y0=1
x2x0a2+y2y0b2=1\frac{x_2x_0}{a^2}+\frac{y_2y_0}{b^2}=1a2x2x0+b2y2y0=1
而A和B都在P的极线上，故x0xa2+y0yb2=1\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1a2x0x+b2y0y=1即为P的极限。
（这一步有点像求两个圆相交弦方程的思想）

三、其他结论

1.过(x1,y1)(x2,y2)(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x1,y1)(x2,y2)的直线：
与x轴的交点为(y1x2−y2x1y1−y2,0)(\frac{y_1x_2-y_2x_1}{y_1-y_2},0)(y1−y2y1x2−y2x1,0)
与y轴的交点为(0,y2x1−y1x2x1−x2)(0,\frac{y_2x_1-y_1x_2}{x_1-x_2})(0,x1−x2y2x1−y1x2)