元素的阶

设<G,·>是群，a∈G,a的整数次幂可归纳定义为：

1. a⁰ = e
2. aⁿ⁺¹ = aⁿ· a, n∈N
3. a^-n = (a^-1)ⁿ, n∈N

容易证明，∀m,n∈I,a^m··aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

定义：设<G,·>是群，a∈G,若∀n∈I₊,aⁿ ≠ e,则称a的阶是无限的；否则称使得aⁿ = e的最小整数n为a的阶，此时a的阶也称为a的周期，常用|a|表示

• 在群<I,+>中，∀i∈I - {0}，i的阶都是无限的
• 在群<N₄,+₄>中，|0| = 1|,|1| = 4,|2| = 2,|3| = 4

定理：设<G,·>是群，a∈G，且|a| = n，k∈I，则$|a^k| = \frac{n}{(k,n)}$.特别地，|a^-1| = |a|

循环群

循环群：在群(G，·)中，若存在a∈G,使得G = {aⁿ | n∈G}，则称(G,·)为循环群。

• (Z，+)是一个无限阶循环群，生成元是1和-1
• <N_m,+_m>是m阶循环群，生成元是1

循环群的结构相当简单，我们完全可以刻画出全部循环群的同构类

定理：设群G = (a),则循环群只有两种。若|a|无限，则G≌<I,+>；若|a|=n∈I₊，则 G≌<N_n,+n>

由本定理有，同阶的循环群必同构，因此把n阶循环群记作C_n

推论：设G是n阶有限群,a∈G，则G = (a)当且仅当|a| = n。

就是上面定理的推论，此推论说明循环群生成元的阶与群的阶是相同的

定理：设群G=(a)

• 若G是无限群，则G只有两个生成元a和a^-1
• 若|G| = n∈I₊，则G=(a^r)当且仅当(r,n) = 1，即生成元有φ(n)个，其中φ(n)为欧拉函数

证：

（1）必要性：已知a是生成元，因为a = (a^-1)^-1，所以a^-1也是生成元。充分性：设a^m∈G是生成元，即G = (a^m)，因为a∈G，所以∃t∈I，使得a = (a^m)^t，所以a^mt-1=e.因为G是无限群，mt-1=0，故m=t=1或m=t=-1，故只有两个生成元a和a^-1.

（2）必要性：设G=(a^r)，由前面的推论知|a^r| = n，由前面关于元素的阶的定理得$|a^r| = \frac{n}{(r,n)}$，故(r,n) = 1。充分性：设(r,n) = 1，则∃s,t∈I使得rs + nt = 1，于是$a = a^{rs+nt} = {(a^r)}^s·{(a^n)}^t$，因为|a| = n，aⁿ = e，所以a = (a^r)^s，故G = (a^r).

例如：设G为12阶循环群{e,a,a²,...,a¹¹}，因为与12互质的12以内的数有1,5,7,11,所以G有4个生成元，分别是a,a⁵,a⁷,a¹¹.

定理：设群G=(a)，|G|=n，则对于n的每个正因子d，有且仅有一个d阶子群，因此，n阶循环群的子群的个数恰为n的正因子的个数.

例如：12阶循环群有6个子群，分别是(a),(a²),(a³),(a⁴),(a⁶),(a¹²).

变换群

我们知道，给定一个集合A，<A^A,°>是亚群，其中°是函数合成运算，令P_A为A到A的所有双射的集合，则<P_A,°>是群，其中1_A是单位元，每个f∈P_A的逆元是其逆函数f^-1.

变换群：设A为集合，群<P_A,°>的子群称为A的变换群

Cayley定理：任意一个群都与某个变换群同构。证明略

置换群是特殊的变换群，在代数中有重要地位

对称群和置换群

对称群：设S是非空有限集，S_n是S的所有置换的集合（n是集合的基数），°是函数的复合运算，则<S_n,°>是一个群，称作n次对称群。易知|S_n| = n!

置换群：对称群的子群称为置换群，含有n个元素的子群称为n次置换群

作为Cayley定理的直接推论，我们有

推论：任意一个有限群都与某个置换群同构

置换还有第二种表示方法，为此需要引入循环的概念

定义：把S中的元素i₁变成i₂，i₂变成i₃，... i_k又变成i₁，并使S中的其余元素保持不变的置换称为循环，也称轮换，记(i₁ i₂  ... i_k)，k称为循环长度。特别的，长度为2的循环称为对换.

注意，同一循环的表示并不唯一。长度为1的循环是恒等置换。

例如：$$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 & \\
4 \, 2 \, 5 \, 3 \, 1 &
\end{smallmatrix}\bigr)$$

定理：

• 任意置换都可表示成若干无公共元素的循环之积
• 任意置换都可表示成若干个对称之积，且对换个数的奇偶性不变

陪集

定义：设H是群G的子群，a∈G.

1. 集合a·H = {a·h | h∈H} 称为H关于a的左陪集
2. 集合H·a = {h·a | h∈H} 称为H关于a的右陪集

定理：设H是群G的子群，在G上定义二元关系R为：对任意a,b∈G，(a,b)∈R当且仅当b^-1a∈H，则R是G上的等价关系，且其对应的等价类与左陪集相同，为R(a) = a·H。类似的，在G上定义二元关系R为：对任意a,b∈G，(a,b)∈R当且仅当ab^-1∈H，则R是G上的等价关系，且其对应的等价类与右陪集相同，为R(a) = H·a。

证：（1）先证明R是等价关系，自反性：∀a∈G，因为a^-1 · a = e∈H，所以aRa。对称性：：∀a,b∈G，若aRb，b^-1 · a∈H，由于H是群，一个元素的逆元也在群中，所以(b^-1 · a)^-1∈H，所以bRa。传递性：∀a,b,c∈G，若aRb和bRc，即b^-1 · a∈H，c^-1 · b∈H，H是群，则满足封闭性，所以c^-1 · a = (c^-1 · b) · (b^-1 · a) ∈H,即aRc。

（2）再证明R(a) = aH，对∀x∈R(a)，有aRx，由对称性知xRa，即a^-1x∈H，因此存在h∈H，使得a^-1x = h，即x=ah∈aH，得到R(a)⊆aH;反过来，假设x∈aH，则存在h∈H，使得x=ah，即a^-1x=h，所以xRa，得到aH⊆R(a);综上的，R(a) = aH

定理：H是G的有限子群，∀a∈H，|aH| = |Ha| = |H|.

该定理说明同一子群的左陪集和右陪集的基数相等，且等于子群的基数

定理：所有左陪集的个数等于所有右陪集的个数

证：只需给出S_L和S_R之间的双射即可。

该定理是指陪集本身的个数，上一个定理是指陪集中元素的个数，是不同的

定义：设H是群G的子群，H在G中所有左（右）陪集的个数称为H在G中的指数，记作[G,H]

拉格朗日定理

Lagrange定理：设H设有限群G的子群，则|H|整除|G|，且|G| = |H| * [G:H]

推论一：有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

证：∀a∈G，(a)≤G，所以|(a)|整除|G|，即|a|整除|G|

推论二：质数阶的群必为循环群

证：设G是p阶群，其中p是质数，由(1)，∀a∈G，|a|整除p，若a≠e，则|a| ≠ 1，所以|a| = p，故G = (a).

正规子群与商群

正规子群：设H是G的子群，若∀a∈G,aH = Ha，则称H是G的正规子群，或正则子群、不变子群，记作H◁G

在正规子群中左陪集和右陪集相等，因此统称为陪集

例如：

• Abel群的子群都是正规子群
• 任意群都有两个平凡正规子群，即{e}和它本身

定理：设H ≤ G,H◁G当且仅当∀a∈G，aHa^-1⊆H

该定理可用来判定是否为正规子群

定理：设H ≤ G,则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系

证：前面已经证明过R是等价关系，下面证明R关于·满足置换性质.

∀a,b,c,d∈G，若aRb,cRd，则aH = Hb,cH = Hd，所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

注：

• 群的任意子群的左（右）陪集关系不一定是群上的同余关系，但是正规子群的陪集关系一定是
• 正规子群可诱导出同余关系，反之，同余关系也可以诱导出正规子群

商群：设(H,·)是(G,·)的一个正规子群，定义G/H为{Ha |a∈G}，对任意的Ha,Hb∈G/H，定义G/H上的运算°为Ha ° Hb = Hab，(补充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b)，则(G/H,°)构成一个群，称为G关于H的商群

证：证明其是一个群，良性的、封闭性、结合性、有单位元、有逆元。略。

例如：

参考链接：中国大学mooc 刘铎 离散数学