康托尔三分集是不可列集的证明

2024-05-13 06:22:37

后面需要用到的知识：

闭集的定义：如果集合 SSS 中包含了它的所有聚点，则称 SSS 为闭集。

康托尔三分集的定义：

将基本区间 [0,1][0,1][0,1] 用分点 1/31/31/3 与 2/32/32/3 三等分，并除去中间的开区间 (1/3,2/3)(1/3,2/3)(1/3,2/3). 再把余下两个闭区间各三等份，并除去中间的开区间 (1/9,2/9)(1/9,2/9)(1/9,2/9), (7/9,8/9)(7/9,8/9)(7/9,8/9)。然后将余下的四个闭区间同法处理，如此等等，这样便得到康托尔三分集 P0P_0P0

证明康托尔三分集是不可列集：

假设 P0P_0P0 是可列的，将 P0P_0P0 中点编号成点列

x1,x2,⋯,xk,⋯,x_1,x_2,\cdots,x_k,\cdots,x1,x2,⋯,xk,⋯,

也就是说，P0P_0P0 中任一点必在上述点列中出现。显然，[0,1/3][0,1/3][0,1/3] 与 [2/3,1][2/3,1][2/3,1] 中应有一个不含有 x1x_1x1，用 I1I_1I1 表示中国闭区间。将 I1I_1I1 三等分后所得的左右两个闭区间中，应有一个不含 x2x_2x2，用 I2I_2I2 表示他。然后用 I3I_3I3 表示三等分 I2I_2I2 时不含 x3x_3x3 的左或右那个闭区间，如此等等…这样，根据归纳法，得到一个闭区间列 {Ik}k∈N\{I_k\}_{k\in N}{Ik}k∈N.由所述取法知，

I1⊃I2⊃⋯Ik⊃⋯I_1\supset I_2\supset \cdots I_k\supset \cdotsI1⊃I2⊃⋯Ik⊃⋯

xk∉Ik,k∈Nx_k\notin I_k,k\in Nxk∈/Ik,k∈N

同时，易见 IkI_kIk 的长为 1/3k→0(k→∞)1/3^k\to 0(k\to \infty)1/3k→0(k→∞).由闭区间套定理，存在点 ξ∈Ik,k∈N\xi\in I_k,k\in Nξ∈Ik,k∈N.又因为 ξ\xiξ 是 IkI_kIk 等端点的聚点，从而是闭集 P0P_0P0 的聚点，故 ξ∈P0\xi \in P_0ξ∈P0。又因为 xk∉Ik.k∈Nx_k\notin I_k.k\in Nxk∈/Ik.k∈N，所以 ξ≠xk,k∈N\xi\neq x_k,k\in Nξ=xk,k∈N。矛盾，所以 P0P_0P0 不可列。

2021年9月23日16:18:15

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